東工大数学'06年前期[3]

東工大数学'06年前期[3]

平面上を半径1の3個の円板が下記の条件(a)と(b)を満たしながら動くとき、これら3個の円板の和集合の面積Sの最大値を求めよ。

(a) 3個の円板の中心はいずれも定点Pを中心とする半径1の円周上にある。

(b) 3個の円板すべてが共有する点はPのみである。

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解答　なお、三角形の面積、集合、2円の位置関係、三角関数を参照してください。

条件(b)より、3個の円板すべてが共有する部分の面積は0です。
従って、3個の円板の位置関係は右図1のようになっていて、3個のうち2個をとってくると共有する部分の面積は正です。
2個の円板が共有する部分の面積

は、右図2のように角θ をとると、扇形OABの面積(扇形の面積については、一般角を参照)から三角形OABの面積を引いて2倍することにより、

　･･･①

ところで、3個の円の中心をC，D，Eとして、右図1のように、

，

とします。仮に、

だとすると、DとEは直線CPの同じ側に来ますが、このとき、(b)の条件が満たされなくなります。よって、

です。同様に、

です。四角形CPDQと四角形CPERはひし形で、

，

①において、

として、Cを中心とする円とDを中心とする円の共有部分の面積は、

①において、

として、Cを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、

，四角形DPESはひし形で、

①において、

とおいて、Dを中心とする円とEを中心とする円の共有部分の面積は、

よって、3個の円板の和集合の面積Sは、3個の円の面積

より、2個づつ共有されている部分の面積を除いて、

　･･･②

ここで、

を固定し(

)、

を、

の範囲で動かすと、

，

より、Sが最大となるのは、

，つまり、

のとき。このとき、

　(微分の公式を参照)

　(2倍角の公式を参照)

とすると、

∴

のとき、

α	0				π
	0	＋	0	－
S

増減表より、Sの最大値は、

のとき、

......[答]

②でトリッキーなことをやっているように見えますが、α，β の2変数の関数Sの最大最小を考えるときの常套手段です。
2変数のうちの一つを固定し他方を動かして、最大・最小を、最初に固定した変数の関数の形に表しておき、さらに、最初に固定した変数を動かして、最大値の最大値、最小値の最小値を求めるのが普通ですが、ここでは、Sがα，β に関して対称な形をしているので、