このとき、P，Qがどのような位置にあっても、の底辺をPQと見るとき、右図より、Rがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます(Pがに来て、Qがに来る場合は、Rは上のどこにいてもSは一定ですが、Qがからに向かって動くと、Sは次第に大きくなります。よって、Pがに来てQがに来る場合を除いて考えます)。
なぜなら、//，//であって、PQに平行で点を通る直線は正八角形の辺と以外の共有点を持たない(がPQから最も遠い点)からです。
従って、Rがに来たときにSが最大になります。そこでRをに固定します。
Pが辺上のどこにあっても、PRをの底辺と見るとき、Qがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
また、Qが辺上のどこにあっても、QRを底辺と見るとき、Pがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
従って、Sが最大になるのは、Qがに来てPがに来たときです。
このときの、Sの最大値はの面積になります。

右図より、Pが辺上のどこにあっても、Qが上のどこにあっても、PQをの底辺と見るとき、Rがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
また、Pが辺上のどこにあっても、Rが上のどこにあっても、PRを底辺と見るとき、Qがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
従って、Sが最大になるのは、右図のように、Qがに来て、Rがに来たときです。
このとき、Pが上のどこにあっても面積は変わらず、Sの最大値はの面積になります。

この場合は、上記のように考えることはできません。Sの増減が点Rの動きによってどう変化するか、ということが、P，Qの位置関係に依存してしまうからです。Rがからまで動くときに、必ずSが増加する、というようなことが言えないのです。そこで、との大小関係で場合を分けることにします。のときにはPQ //となります。

このとき、PQをの底辺と見ると、Pが上のどこにあっても、Qが上のどこにあっても、右図より、Rがに来たときに高さが最大となり、Sが最大となります。そこで、Rをに固定します。
Pが上のどこにあっても、底辺をPRと見るとき、右図より、高さが最大となるのはQがに来たときで、このとき、Pが上のどこにあってもSは変わらず、Sの最大値はの面積になります。