東工大数学'07年前期[3]
　一辺の長さが1の正八角形の周上を3点P，Q，Rが動くとする。
(1) の面積の最大値を求めよ。
(2) Qが正八角形の頂点に一致し、になるときの面積の最大値を求めよ。


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解答　最大値そのものはすぐわかるのですが、論証するのが難しい問題です。もちろん、解答のみの答案では正解でも零点でしょう。(1)も(2)も場合分けの方法を充分に考えてから取り組むことになります。
(1) 点Pを辺上に取り、の面積をSとします。
(i) 点Qを辺上に取ります。点Rを辺上、辺上、辺上、辺上、辺上、辺上で動かします。
このとき、P，Qがどのような位置にあっても、の底辺をPQと見るとき、右図より、Rがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます(Pがに来て、Qがに来る場合は、Rは上のどこにいてもSは一定ですが、Qがからに向かって動くと、Sは次第に大きくなります。よって、Pがに来てQがに来る場合を除いて考えます)。
なぜなら、//，//であって、PQに平行で点を通る直線は正八角形の辺と以外の共有点を持たない(がPQから最も遠い点)からです。
従って、Rがに来たときにSが最大になります。そこでRをに固定します。
Pが辺上のどこにあっても、PRをの底辺と見るとき、Qがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
また、Qが辺上のどこにあっても、QRを底辺と見るとき、Pがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
従って、Sが最大になるのは、Qがに来てPがに来たときです。
このときの、Sの最大値はの面積になります。
(ii) 点Qを辺上に取ります。

(a) 点Rを辺上に取ります。
右図より、Pが辺上のどこにあっても、Qが上のどこにあっても、PQをの底辺と見るとき、Rがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
また、Pが辺上のどこにあっても、Rが上のどこにあっても、PRを底辺と見るとき、Qがに来たときの高さが、の高さの最大値を与えます。
従って、Sが最大になるのは、右図のように、Qがに来て、Rがに来たときです。
このとき、Pが上のどこにあっても面積は変わらず、Sの最大値はの面積になります。
(b) 点Rを辺上に取ります。

この場合は、上記のように考えることはできません。Sの増減が点Rの動きによってどう変化するか、ということが、P，Qの位置関係に依存してしまうからです。Rがからまで動くときに、必ずSが増加する、というようなことが言えないのです。そこで、との大小関係で場合を分けることにします。のときにはPQ //となります。
・PQ //のとき、右図より、，ととの距離は、
PQととの距離をx ()として、，PQととの距離は、，よって、

において、Sは単調減少で、のとき、Sは最大値 (これはの面積です)をとります。
・PQがと平行でないとき、だとします(も同様です)。
このとき、PQをの底辺と見ると、Pが上のどこにあっても、Qが上のどこにあっても、右図より、Rがに来たときに高さが最大となり、Sが最大となります。そこで、Rをに固定します。
Pが上のどこにあっても、底辺をPRと見るとき、右図より、高さが最大となるのはQがに来たときで、このとき、Pが上のどこにあってもSは変わらず、Sの最大値はの面積になります。

正八角形の対称性により、以上で、P，Q，Rの位置関係のすべてを尽くしています。
より、の面積の最大値は、 ......[答]
(2) 右図でPをの左上側、Rを右下側として、一般性を失いません。
Pが辺上の以外の点の場合、題意を満たすRを取ることができません。
Rが辺上の以外の点の場合、題意を満たすPを取ることができません。
(i) Pが上(を除く)ならRはに来ます。また、Rが上(を除く)なら、Pはに来ます。
この場合のSの最大値は、の面積に等しく、
(ii) 右上図より、Pがに来るとき、Rはに来ます。また、Pがに来るとき、Rはに来ます。
右下図より、
(a) Pが上に来るとき、Rは上に来ます。
(b) Pが上に来るとき、Rは上に来ます。
正八角形の対称性より、(a)と(b)には必ず対応する合同な三角形となる場合(右下図黄緑色の三角形)があり、どちらか一方を考えればよいので、(b)の場合で考えることにします。

これ以降、座標を考えてもできますが、距離を表すのに根号がついて計算が面倒になります。こういう場合には、どこかの角をθ とおいて、三角関数で考えるとうまくいくことがあります。

右図で、 ()とおくと、だから、です。
において、正弦定理より、
∴
において、正弦定理より、
∴
よって、
　(倍角の公式を参照)
において、Sは単調増加で、
のとき、Sは最大値をとります。
以上より、の面積の最大値は、 ......[答]


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