東工大数学'08年前期[2]
実数xに対し、x以上の最小の整数を
とする。a，bを正の実数とするとき、極限
が収束するような実数cの最大値と、そのときの極限値を求めよ。
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解答 超難問に見えて、大したことなさそうで、やっぱり東工大だけのことはある、という問題です。「x以上の最小の整数」はガウス記号と同様のことを考えればよいはずです。nを整数，xを実数として、
のとき、
なので、この問題でも、
などと考えることにします。
は、x以上の最小の整数だから、
であるようなxに対して、①より、
であるようなxに対して、②より、
，
をともに満たすようなxについて、
左辺と右辺を変形して、
･･･③(i) 
のとき、 ③の各辺に
をかけて、 求めるcの最大値は1
(ii) 
のとき、cの最大値が2だということはすぐわかりますが、
のとき、③の左辺と右辺が同じ値に近づいてくれないので、はさみうちが使えません。 最初から考え直すことにします。
です。分母を正とするような十分に大きなxについて、 
･･･④これなら、はさみうちが使えます。①と②でb→aとした不等式から、
となるようなxについて、 この不等式の各辺を10倍したものと、④とを合わせて、
をかけて、
のときには、
のとき、左辺、右辺はともに正の無限大に発散し、
のときには、
，
よって、はさみうちの原理より、
求めるcの最大値は2
(i) 
のとき、cの最大値：1，極限値：
(ii) 
のとき、cの最大値：2，極限値：
......[答]
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･･･①
･･･②
のとき、左辺、右辺の絶対値は無限大に発散し、
のときには、
，