東工大数学'09年後期[1]
aが与えられた実数のとき、xyz空間の点Cから出た光が球
でさえぎられてできるxy平面上の影をSとする。点がSに含まれる条件を求めよ。


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解答　点光源による円の影が楕円になるという問題です。
Sの外周となる閉曲線をFとすると、Sは、曲線F及び曲線Fの内部、になります。
点Bが曲線F上の点であるとき、BとCを結ぶ直線は、球の接線になっています。このとき、球の中心AとCを結ぶ直線と、直線BCのなす角θ は一定です(Cを通る球の接線群と接点の集合の円とでCを頂点とする円錐を作ります)。ここに着眼します。
直線BCと球との接点をDとすると、であり、三角形ADCはとなる直角三角形なので、です。
　(空間ベクトルを参照)


より、

　(内積を参照)
よって、
∴
両辺を2乗して、


∴

よって、曲線Fは楕円(の場合の円も含む)であり、Sは楕円Fおよび楕円Fの内部、ということになります。点がSに含まれる条件は、
が楕円の周上または内部の点であること ......[答]　です。
注．「大学への数学」'09年5月号に、直線BCのベクトル方程式と球の方程式を連立する解法が紹介されています。こちらもぜひ、参照してください。


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