東工大数学'09年前期[3]
Nを正の整数とする。
以下の正の整数m，nからなる組
で、方程式
がN以上の実数解をもつようなものは何組あるか。
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解答 150分で4問解答なら、
の範囲に実数解をもつときの格子点の数を数える、というくらいでないと、東工大の問題としては物足りない気がします。
とおくと、
･･･①
は、
の範囲に実数解をもちます(
の軸の位置は
です)。
・
のとき、
，
ですが、このうち①をみたす組み合わせは、 
のみです。
のとき、は、
(
)を解に持ちます。
条件をみたす
の組は、1組あります。 
のときは、
はすべて①をみたし、
は
の範囲に実数解をもちます。
のときは、
が①をみたします。
のとき、
の解は
で
なので条件をみたします。
のとき、
は実数解2をもつので条件をみたします。
のときは、
が①をみたしますが、
の実数解1はNより小さいので条件をみたしません。
のときは、①をみたすmはありません。条件をみたす
の組は、6組あります。 ここまでで、感じがつかめると思いますが、条件①のほかに、N以上の実数解をもつという条件を考える必要があります。この条件は、
です。
が満たされるとき、
なので方程式
は
となる実数解をもちます。よって、
･･･②
の数を数えることになります。境界線
･･･③
･･･④
より、③が④の上側にあり、境界線③，④は
で接しています。
のときは
より
となり、接点のmの値は
より大きく、③，④の接点は、
の範囲に入りません。
従って、
のときには、①を考える必要はなく、②かつ
かつ
(右図黄緑色着色部分の台形領域)をみたす整数m，nの組を数えればよいことになります。
境界線④は、
，
，
を通り、
の下を通ります。領域内の直線
上には
にN個の格子点(座標が整数の点)があり、「
かつ 
」の長方形内には、
個の格子点があります。合わせて、
個の格子点があります。
，
を代入すると、正しい結果を与えます。
条件をみたす整数の組
は、
組 ......[答]
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のとき、
，
ですが、
