東工大数学'11年前期[2]
実数xに対して
とおく。
(1) 関数
の最小値を求めよ。 (2) 定積分
を求めよ。
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解答 面倒な微積分の問題に見えますが、場合分けするだけなので、この問題は落とせません。
(1) 絶対値を含む定積分では、絶対値記号の内側の正負で積分区間を分ける必要があります。
(i) 
のとき、
よって、
，
よって、
，
(iii) 
のとき、
以上より、
の場合と、
の場合に分けて積分計算を実行します。 ・
の場合、つまり、(i)(ii)の場合、 
より、
･･･①・
の場合、つまり、(iii)の場合、 
を満たすtをα，
として、(iii)(a)では
，(iii)(b)では
より、増減表より(関数の増減を参照)、
においては、
･･･② ①，②より、
の最小値は
......[答]別解．
の場合については、相加平均相乗平均の関係を用いて、 とすることもできます。
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において
，
です。
のとき、
，
であれば、
，
，
であれば、
，
，
，
(不等号の等号成立は、
，つまり、
のとき)
のとき
，
のとき
......[答]
