三角関数の応用 関連問題
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(1) 2倍角の公式の応用
例1．
を解く。
[解答] 
という項があるので、
で統一して表します。
を代入すると、
∴ 
nを整数として、
，
......[答]
例2．
(
)の最大値と最小値
[解答] 
があるので、
で統一して表します。
を代入すると、
より、
は、
，つまり、
のときに、最大値：
，つまり、
のときに、最小値：
最大値：
(
のとき)，最小値：
(
のとき) ......[答]
(2) 3倍角の公式の応用
例3．
の値を求める。
[解答] 
とすると、
より、
2倍角の公式、3倍角の公式より、
より、
∴ 
より、
∴ 
......[答]
例4．
(
)の最大値と最小値
[解答] 3倍角の公式、2倍角の公式より、
とおくと、
のとき、
とおきます。
のとき、
，
のとき、
，
のとき、
，
増減表より、最大値：
(
のとき)，最小値：
(
のとき) ......[答]
(3) 和積の公式の応用
例5．
(
)を解く。
[解答] 和積の公式より、
∴ 
または 
より、
より、
∴ 
......[答]
例6．
(
)を解く。
[解答] 和積の公式より、
∴ 
または 
より、
より、
∴ 
......[答]
注．
より直ちに
としてしまうと、
以外の解が得られなくなってしまいます。
(4) 積和の公式の応用
例7．
のとき、
，
(n：自然数)
[解答] 
∴ 
......[答]
∴ 
......[答]
例8．
(m，nは自然数)
[解答] 積和の公式より、
よって、
ここで、
のときには、
のときには、
以上より、
(5) 合成の応用
例9．
(
)の最大値と最小値
[解答] 2倍角の公式を用いて、
とおくと、
，
より、
(三角関数の合成を参照)
において、
，
より、
は、
，つまり、
，
，
のときに、最小値：
をとります。
，つまり、
，
，
のときに、最大値：
をとります。
よって、最大値：
(
のとき)，最小値：
(
のとき) ......[答]
(6) 図形的解法
例10．
の最大値と最小値
[解答] 
，
とおくと、
は単位円上の点です。
とおくと、
は、定点
を通る直線になっています。
単位円と直線が共有点をもつのは、円の中心と直線との距離：
が、円の半径1以下であることです。
∴ 
分母を払って2乗すると、
∴ 
∴ 
よって、
の最大値：
，最小値：
......[答]
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