三角関数のグラフ 関連問題
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この項目の内容については、三角関数も参照してください。
実数xに対して、関数
の値は、xを一般角として、単位円(原点を中心とする半径1の円)の円周上をx軸から反時計回りにxだけ回った点のy座標です。
従って、
のグラフを書くためには、右図のように、単位円の1つの直径の延長上にx軸を引いておき、円周上で直径から弧度法で測った角xだけ回った点を通りx軸に平行な直線を伸ばして、この直線上でx座標がxのところに点をとり、こうして得られる点を結んでいきます。
のグラフは波動の状況をあらすグラフになっています。
には、nを整数として、
という性質があるので、
のグラフは、x座標が
進むごとに同じ形になります。
このように、xがある決まった値pだけ変化するたびにy座標が等しくなるような関数を周期関数と言い、pを周期と言います。
が周期pの周期関数であるとき、
が成り立ちます。
だとすると、
より
は周期
の周期関数なので、
となります。
のグラフは、右図のように、
のグラフ上の各点において、y座標の値を
にした点をつなぐことにより得られます。
のグラフと
のグラフを比較すると、波動の振れが
になっています。
として、
のグラフは、
の波動の振れをk倍にしたグラフになります。このkの値を振幅と言います。
関数
の振幅は1，関数
の振幅は
です。
のグラフは、右図のように、
のグラフをx軸正方向に
だけ平行移動したものになります(平行移動については、2次関数でも考えました。2次関数を参照)。
のグラフは、
のグラフをx軸正方向にθ だけ平行移動させたグラフです。
のグラフは、
のグラフをx軸負方向にθ だけ平行移動させたグラフです。
のグラフは、
のグラフと比較すると、右図のように左右に2倍に押し縮められたようなグラフになります。周期はπになります。
として、
のグラフの周期は、
となります。
なぜなら、
より、
，つまり、
として、
が成り立つからです。
と
の間には、
という関係があるので、
のグラフは、
のグラフと同じグラフであり、
のグラフをx軸負方向に
だけ平行移動させたものになります。
も
と同様に周期
の周期関数です。
は、
(
)である直角三角形OABにおいて、
(xは弧度法で測った角)として、
なので、OAの長さを1としておけば、ABの長さが
の値になります(
)。
従って、
のグラフを書くためには以下のようにします。
右図のように、単位円の1つの直径の延長上にx軸を引いておき、この直径のx軸側の端点をAとして、点Aにおける円の接線を引きます。単位円の円周上をこの直径からxだけ回った点と円の中心を直線で結びます。この直線と先の接線との交点を通ってx軸に平行な直線を引きます。この平行線上でx座標がxとなるところに点をとり、こうして得られる点を結んでいけば、
(nは整数)に対して、
のグラフを書くことができます。
のグラフは、x座標がπ進むごとに同じ形が繰り返されていきます。
については、
という性質があるので、
は周期πの周期関数です。
また、
の値は、nを整数として、
のときには定義できません。
のグラフは、xが
に近づくと、x軸から急速に離れていき、x軸に垂直な直線
に近づいていきます。従って、
は
のグラフの漸近線になっています。
という性質により、点
と点
は原点に関して対称です。従って、
のグラフは、右図のように、原点に関して対称になります。よって、
は奇関数です。
という性質により、点
と点
はy軸に関して対称です。従って、
のグラフは、右図のようにy軸に関して対称になります。よって、
は偶関数です。
という性質により、点
と点
は原点に関して対称です。従って、
のグラフは、右図のように、原点に関して対称になります。よって、
は奇関数です。
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