東大理系数学'03年前期[2]
Oを原点とする複素数平面上で6を表す点をA，
を表す点をBとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数tに対し、
を表す点Pをとる。
(1) 
を求めよ。 (2) 線分OPの長さが最大になるtを求めよ。
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解答 この問題は現在の指導要領では高校範囲外です。
(1) 
，
，
とおきます。
，
，
です。
は、複素数
の偏角です。 よって、
......[答]
(2) 無方針にやっても計算が大変です。複素数zの分母：
は、
のときに実数になり、
のときに純虚数になります。このとき、zが簡単な値になります。 分母を払うと、
∴ 
......[答]別解 
をtについて解くと、 tが実数 ⇔ 
より、
(共役複素数を参照)分母を払うと、 整理して、
∴ 
これでP
の軌跡が
を中心とする半径5の円とわかります。
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としてみると、
となり、このとき点Pは点A
に来ます。
としてみると、
となり、このとき点Pは点C
に来ます。
としてみると、
となり、このとき点Pは原点Oに来ます。
で一定なので、点Pの軌跡は円です。
で、OPがこの外接円の直径になるときにOPの長さが最大で、このとき、OPの中点が
なので、
