東大理系数学'06年前期[4]
次の条件を満たす組
を考える。
条件(A)：x，y，zは正の整数で
および
を満たす。 以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組
で
となるものをすべて求めよ。 (2) 組
が条件(A)を満たすとする。このとき、組
が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。 (3) 条件(A)を満たす組
は、無数に存在することを示せ。
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解答 とりたてて難問というほどではありませんが、試験会場で、どれだけ冷静に考えることができるか、という問題です。
(1) ・
のとき、
∴ 
これを満たす、正の整数x，zは存在しません。
・
のとき、
∴ 
これを満たす、正の整数x，zは存在しません。
・
のとき、
より、
に限られます。
i) 
のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。
ii) 
のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。
iii) 
のとき、
∴ 
以上より、
......[答]
(2) 組
が条件(A)を満たすので、
･･･① が成立します。 このとき、組
が条件(A)を満たすなら、
が成り立つはずです。
このとき、①より、
，よって、 ∴ 
と
について、
であることが示せれば良いのですが、
の場合と、それ以外の場合とで分けて調べます。・
であれば、
として、条件(A)を満たす組
が存在します。 ・
または、
である場合、(1)より、
ゆえ、
の両辺に
をかけて、
∴ 
･･･② よって、組
は条件(A)を満たします。
以上より、組
が条件(A)を満たすようなzが存在します。
(3) 
から出発して、組
から組
を求めるという手順で、条件(A)を満たす組
を次々に求めていったとします。 実際に求めていくと、
→
→
→
→
→
となっていきます。
条件(A)を満たす、n番目の組
(
)が存在することを数学的帰納法により示します。 ・
のとき、 
とすれば、(1)により、1番目の組
が存在します。 ・
のとき、
とすれば、(1)により、2番目の組
が存在します。 ・
のとき、条件(A)を満たす組
，
が存在すると仮定します。 
，
，
として、(2)より、
とすれば、条件(A)を満たす組
が存在します。
よって、
のときも、条件(A)を満たす、n番目の組
が存在します。数学的帰納法により、
となる整数nに対して、条件(A)を満たす、n番目の組
が存在します。
のときに、(2)の中で、
，
として、
であれば、
(②の不等号の等号を除くことができる)従って、すべての
について、
以上より、すべての
について、条件(A)を満たす組
は異なります。
正の整数は無数に存在するので、条件(A)を満たす組も無数に存在します。
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より、
の場合に、(2)の中で、
，
として、
より、
であり、