東京大学理系2006年前期数学入試問題
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[1] Oを原点とする座標平面上の4点,,,で、条件
() を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) ,が曲線上にあるとき、はこの曲線上にはないことを示せ。
(2) ,,が円周上にあるとき、もこの円周上にあることを示せ。
[解答へ]
[2] コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率をとする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) をpで表せ。 (2) のとき、をpとnで表せ。 [解答へ]
[3] Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点Pと、直線m:が与えられている。ここで、,とする。
いま、傾きがαの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、をαとpで表せ。 (2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件:どのようなθ ()に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はとなる。 [解答へ]
[4] 次の条件を満たす組を考える。
条件(A):x,y,zは正の整数でおよびを満たす。 以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組でとなるものをすべて求めよ。 (2) 組が条件(A)を満たすとする。このとき、組が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。 (3) 条件(A)を満たす組は、無数に存在することを示せ。 [解答へ]
[5] とし、数列を漸化式
() によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 各に対し、とおく。 のとき、となることを示せ。 (2) を求めよ。 (3) を求めよ。 [解答へ]
[6] を定義域とする関数について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数 ()は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、となるがただ1つ存在することを示せ。 (2) 前問(1)で定められた逆関数を ()とする。このとき、定積分を求めよ。 [解答へ]
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