東京大学理系2006年前期数学入試問題
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[1] Oを原点とする座標平面上の4点
，
，
，
で、条件
(
)
(1) 
，
が曲線
上にあるとき、
はこの曲線上にはないことを示せ。
(2) 
，
，
が円周
上にあるとき、
もこの円周上にあることを示せ。
[解答へ]
[2] コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を
とする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) 
をpで表せ。 (2) 
のとき、
をpとnで表せ。 [解答へ]
[3] Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点P
と、直線m：
が与えられている。ここで、
，
とする。
いま、傾きがαの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線
上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、
をαとpで表せ。 (2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件：どのようなθ (
)に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線は
となる。 [解答へ]
[4] 次の条件を満たす組
を考える。
条件(A)：x，y，zは正の整数で
および
を満たす。 以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組
で
となるものをすべて求めよ。 (2) 組
が条件(A)を満たすとする。このとき、組
が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。 (3) 条件(A)を満たす組
は、無数に存在することを示せ。 [解答へ]
[5] 
とし、数列
を漸化式
(
)
(1) 各
に対し、
とおく。 
のとき、
となることを示せ。(2) 
を求めよ。 (3) 
を求めよ。 [解答へ]
[6] 
を定義域とする関数
について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数
(
)は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、
となる
がただ1つ存在することを示せ。 (2) 前問(1)で定められた逆関数を
(
)とする。このとき、定積分
を求めよ。 [解答へ]
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