東大理系数学'06年前期[3]
Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点P
と、直線m：
が与えられている。ここで、
，
とする。
いま、傾きがαの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線
上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、
をαとpで表せ。 (2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件：どのようなθ (
)に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線は
となる。
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解答 気力を充実させて、ただひたすら計算をする問題です。なお、座標平面における対称を参照してください。
(1) 直線lの方程式を
，Qのx座標をq，Rのx座標をrとする。 題意より、
で
，またm上にない点Pのlに関する対称点がm上に来ることから、
点O
と点Q
が直線lに関して対称だから、 点P
と点R
が直線lに関して対称だから、 
，
前者より、
(
) ･･･②
後者から①を引いて、 これを②に代入すると、
分母を払って、
(2) 
と
が出てくるので正接に関する3倍角の公式を導いておきます。 
･･･③∴ 
･･･④ ③において、
として、 (1)の結果を用いて、
分母を払うと、
展開して整理すると、
･･･⑤θ とαの間には、④という関係があるので、⑤が、θ にかかわらず、すなわち、αにかかわらず成立するためには、
......[答]点Pを
とすれば、任意のθ (
)に対して④が成立するようにαをとれば、直線lと
が垂直になり、与えられた条件が成立するので、点Pは存在します。
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，
，
･･･①
，
(
)
......[答]
