東大理系数学'06年前期[5]
とし、数列
を漸化式
(
)
(1) 各
に対し、
とおく。 
のとき、
となることを示せ。(2) 
を求めよ。 (3) 
を求めよ。
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解答 難問というわけではないですが、それなりに工夫を凝らす必要があって一本道ではありません。なお数列を参照してください。
(1) 
より、
･･･① 
･･･③②より、
で、
なら
で帰納的に、
に対して、
･･･④ (数学的帰納法を参照)よって、
についても、
に対して、
これと、③より、
①を用いて、
のとき、
(2) ④より、
･･･⑤ また、(1)より、
これより、
のとき、 
･･･⑥ところで、
のとき、
なるxについて、
等号は恒等的に成り立つわけではないので、 
について加え、さらに、
を用いて、左辺に
を加え、中辺と右辺に1を加えると、∴ 
各辺をnで割ると、
･･･⑦
とおくと、増減表より、
∴ 
両辺をx (
)で割ると、
ここで、
とすることにより、
よって、はさみうちの原理より、
これより、⑦の左辺と右辺は、
のとき、
，
だから、ともに0に近づく。はさみうちの原理より、⑦の中辺についても、 
･･･⑧⑤，⑥を用いて、
さらに、はさみうちの原理より、
......[答]
(3) (1)より
が言えているので、
･･･⑨ 従って、
となる
で、
となるものを探せばよいのです。
このためには、
，つまり、
という形の不等式をひねり出さないといけません。
③をながめていると、
を利用すれば、この形が作れそうです。
③において、
のとき、
より、
①を用いて、
のとき、 これより、
これと、⑨から、
⑧を使うと、左辺は、
のとき、
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(
) ･･･② より、
