東大理系数学'06年前期[1]
Oを原点とする座標平面上の4点
，
，
，
で、条件
(
)
(1) 
，
が曲線
上にあるとき、
はこの曲線上にはないことを示せ。
(2) 
，
，
が円周
上にあるとき、
もこの円周上にあることを示せ。
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解答 余計なことを考えずに素直に取り組めば大したことはありません。
，
が曲線
上にあるとき、
もこの曲線上にあると仮定します。
，
のx座標をp，qとすると、それぞれのy座標は
，
です。
与式で
として、
より、
･･･①
の場合、
ですが、
は
を満たさず、
は曲線
上の点ではありません。･･･②
の場合、
，
がともに第1象限の点で、
，
だとします。①より、
も第1象限の点です。
として、平行四辺形の対角線ONと
は互いに相手を二等分し、線分ONの中点Mは線分
上の点です。
ところで、
より、
は線分MN上のM以外の点です。
曲線
は第1象限において下に凸な曲線なので、曲線
と線分ONとの交点Qは線分
の下側に来ます。よって、Qは線分OM上のM以外の点です。
は線分MN上のM以外の点で，Qは線分OM上のM以外の点なので、両者が一致することはありません。これは、
が曲線
上の点ではないことを意味しています。･･･③
，
がともに第3象限の点である場合には、原点に関して対象な位置に
，
を移して考えれば、③により、
は曲線
上の点ではありません。･･･④
，
が一方が第1象限で他方が第3象限にあって、p，qが異符号だとします。①より、
のx座標とy座標は、
により、異符号であって、曲線
は第1象限と第3象限にしか存在しないので、
は曲線
上の点ではありません。･･･⑤
②，③，④，⑤より、全ての場合において、
は曲線
上の点ではありません。
これは、
が曲線
上の点であるという前提条件と矛盾します。
よって、
が曲線
上にあるとした仮定は誤りであって、
はこの曲線上の点ではありません。
より、
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，
，
が円周
上にあるので、
もこの円周上の点です。
として、
(
)であっても、(2)は成立します。計算してみてください。ただし、kには
という条件が付くそうです。