東大理系数学'06年前期[6]
を定義域とする関数
について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数
(
)は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、
となる
がただ1つ存在することを示せ。 (2) 前問(1)で定められた逆関数を
(
)とする。このとき、定積分
を求めよ。
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解答 逆関数と言っても、元の関数とグラフのx軸，y軸が逆になるというだけなので、怖がらないようにしましょう。
分子
よって、
(
)よって、
は
において、単調増加な関数です。
の分子は
のとき
ですが、
の分母は
とするとき、正の数として0に近づくので、
また、
のとき、
より、
以上より、任意の実数aに対して、
となる
がただ1つ存在し、
は実数全体を定義域とする逆関数をもちます。
(2) 
の逆関数
のグラフは、
のグラフと直線
に関して対称で、
のグラフのx軸とy軸を逆にしたものと考えることができます。 
のとき、
という関係があります。
求める定積分は、
のグラフの
の部分とx軸との間に挟まれた部分の面積です(定積分と面積を参照)。
，
となる
，
について、
，
が成り立ちます。
の定義域が
であることから、
，
であることに注意してください。
(
より
)とおいて、分母を払って整理すると、
このうち、
に適するものは、
∴ 
分母を払って整理すると、
このうち、
に適するものは、
∴ 
以上より、求める定積分は、
のグラフの
の部分とy軸との間に挟まれた部分(右図斜線部)の面積に相当します。
この面積は、原点O，
，
，
の4点を頂点とする長方形の面積から、原点O，
，
，
の4点を頂点とする長方形の面積と、
のグラフの
の部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を除いた面積に相当します。よって、
の積分について(置換積分法を参照)は、
とおくと、
より、
x：
のとき、t：
∴ 
......[答]
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，
(
より
)とおいて、
，
