分数関数の積分 関連問題
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n次のxの整式
(
，･･･，
，
は実数)があるときに、これを実数の範囲で因数分解して、
(
)
になったとします。
方程式
の解は以下のいずれかに限られます。
(i) 
が虚数解αをもてば、それと共役な複素数
もまた解になります(高次方程式を参照)。このとき、
，
ともに実数なので、
を2解にもつ2次方程式：
は、実数係数の方程式(ただし、判別式：
)であり、
は
を因数にもちます。
がk重解である場合には、
，
，･･･，
の中のどれか1つが、
(
)になります。
(iii) 
が実数の解αをもつ場合には、
は
を因数にもちます。αがk重解である場合には、
，
，･･･，
の中のどれか1つが
((
))になります。
従って、
，
，･･･，
は、
，
として、
，
のいずれかの形をしています。
このとき、
をn次未満の実数係数の整式だとして(n次以上の場合には割り算を実行すれば、整式＋
の形に直せます)、
(＊)
が成り立つように、
，
，･･･，
を決めることにより、
を複数の分数の和の形に直すことを部分分数分解と言います。
，
，･･･，
の中に、
のkが2以上のものがあっても、分数関数
の積分の計算は可能なのですが、非常に複雑なので、ここでは、
に限って考えることにします。
以下のように、未定係数法という技巧を用いて、
，
，･･･，
を決めます。
整数jが、1からmの中のどれかだとして、
が
の形をしている場合には、
(定数)
が
の形をしている場合には、
(
は定数)
が
(
)の形をしている場合には、
(
は定数)
とおいて、(＊)が成り立つように、各定数の値を定めます。
これで、部分分数分解をしたときに出てくる項は、
，
，
，
の4通りのどれかに限られます。
分数関数の積分：
を計算する場合に、
を部分分数分解すると、分解したときに出てくる項の積分は以下のどれかになり、積分の計算を行うことができます。積分定数を省略して書きますが、
(不定積分の公式を参照)
(不定積分の公式を参照)
(不定積分の公式を参照)
とおきます。
とおく(置換積分(その2)を参照)と、
より、
上記ではわかりにくいので、以下に代表的なパターンを例示します。
例1． 
例2． 
とおくと、
よって、
，
，
これらを解いて、
，
，
これより、
ここで、
とおくと、
x：
のとき、θ ：
よって、
例3． 
とおくと、
よって、
，
，
，
これらを解いて、
，
，
，
これより、
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