東大文系数学'06年前期[2]
コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を
とする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) 
をpで表せ。 (2) 
をpで表せ。 (3) 
のとき、
をpとnで表せ。
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解答 (2)が付け加わっただけで、理系前期[2]と同じです。確率を参照してください。
(1) 記号×が3個出るよりも前に、記号○が2個出るのは、以下の場合です(なお、積事象・和事象・余事象を参照)。 ・×○○ ･･････ 確率は、
・×○×○ ･･････ 確率は、
・××○○ ･･････ 確率は、
よって、
......[答]
(2) 記号×が3個出るよりも前に、記号○が3個出るのは、以下の場合です。
・×○○○ ･･･ 確率は、
・×○○×○ ･･･ 確率は、
・×○×○○ ･･･ 確率は、
・××○○○ ･･･ 確率は、
よって、
......[答]2番目と3番目の場合は、×が○のつながりの途中に入るのですが、このときには、同じ確率になることに注目します。
(3) 記号×が3個出るよりも前に、記号○がn個出るのは、以下の場合です。
・
･･････ 確率は、
・
･･････ ×の入る位置が○1個の次から○
個の次まで
通りあり、確率は、
・
･･････ 確率は、
よって、
......[答]
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