東大理系数学'07年前期[1]
nとkを正の整数とし、
を次数がn以上の整式とする。整式
のn次以下の項の係数がすべて整数ならば、
のn次以下の項の係数は、すべて整数であることを示せ。ただし、定数項については、項それ自身を係数とみなす。
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解答 素直に数学的帰納法で考える場合には、kについての帰納法にするのが最もラクなようです。
とし、nを固定して考えます。
これのn次以下の項の係数がすべて整数、つまり、
，
，
，･･･，
がすべて整数だとすると、
，
，
，･･･，
はすべて整数です。
よって、題意が成り立ちます。
(II) 
のとき、題意が成り立つとします。つまり、 
のn次以下の項がすべて整数ならば、
のn次以下の項の係数はすべて整数だとします。･･･(＊)
のとき、
のn次以下の項がすべて整数だとすると、(＊)より、
のn次以下の項の係数はすべて整数です(題意では、
は次数がn以上の整式という制約しかないので、(＊)の
を
と読み替えています)。
であれば、(I)より、
，
，
，･･･，
はすべて整数です。
よって、このときも題意は成立します。
(I)，(II)より、すべての正の整数kについて、題意は成立します。 (証明終)
問題文を見て、nについての帰納法にするか、kについての帰納法にするか、
の次数についての帰納法にするか、だろうと、誰でも考えると思います。
たぶん、合格した受験生の大半は上記の方針でやっていると思いますが、ここでは、問題の中身が見えるように、もっと、直接的に考えてみます。
二項定理：
より、
(
)として、
の係数は、
となるところから出てきますが、
の係数は、
となるところから出てきますが、
の係数は、
となるところから出てきますが、
・・・・・・
の係数は、
となるところから出てきますが、
ただし、
なので、こう書けるためには、
でなければいけません。
になってしまうと、“
”と書けなくなります。
のときには、
となるためには、
を満たす
に対応して、
となります(
の部分は出てきません)。このときの
の係数は、
従って、題意を証明するためには、kをある与えられた正整数だとして、
・
の場合には、
，
，
，･･･，
がすべて整数であるとき、
，
，
，･･･，
もすべて整数であること、 ・
の場合には、
，
，
，･･･，
がすべて整数であるとき、
，
，
，･･･，
もすべて整数であること を示せばよいことになります。
・
の場合には、
，･･･，
・
の場合には、
，･･･，
は、すべて整数です。
従って、
，
が整数であれば、
も整数です。
が整数であれば、
も整数です。
よって、帰納的に、
，
，
，･･･，
はすべて整数です。 (証明終)
後者の考え方でも、試験会場で充分に実用的ですが、実際にやってみると、予備校講師のようなプロならともかく、答案の形にまとめるのに苦労します。
何となくつかめてはいるのだけれど、あと何をどう整理すればよいのか混乱する、というタイプの問題なのです。
方針転換が道草になる、ということもあるのですが、この問題では、10分から15分くらいで、前者の考え方に方針転換すれば、10分かからないで答案をまとめることができると思います。
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のとき、
がm次式(
)だとして、
とします。
の場合には、
，
，･･･，
，
の場合には、
，
，･･･，
，