東大文系数学'08年前期[3]
座標平面上の3点A
，B
，C
に対し、
をみたす点Pの軌跡を求めよ。ただし、
とする。
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解答 
として、ベクトルの内積を用いて、
としても、計算は猛烈ですが、力尽くでやれば30分あれば解答できると思います(旺文社全国入試問題正解に載っています)。[1]，[2]が簡単なので、時間がかかっても腕尽くで計算というのが、この問題では無難だと思います。
ここでは、計算によらないアプローチで考えてみます。
まず、問題文を読んで即浮かぶのは、Pがy 軸上のC以外の点であれば、
となる(右図黄色線の場合)、ということです。答えがy 軸だけ、というのではあまりに簡単すぎるので、y 軸以外でも、
となる場合があるのか、あちこちに点Pをとって調べてみると、点Pが第1象限、あるいは、第2象限にあれば、
となる場合がありそうです(右図赤線の場合)。
Pが第3象限、第4象限に来る場合はどうか、という前に、x軸上ではどうか、と、調べてみると、線分AB間の原点以外では、
，
は互いに補角をなす関係にあって、
とはなりません(右図緑線の場合)。ですが、x軸上の
の部分では、APとBPがx軸と重なってしまうので、
となるのです(右図藍色線の場合)。
第3象限の
の部分では
の中に
が含まれてしまい、
とはなり得ません。第4象限の
の部分では
の中に
が含まれてしまい、
とはなり得ません(右図橙色線の場合)。
になるとすれば、第3象限の
の部分か、第4象限の
の部分において、ということになります。
次に浮かぶことは、△APCと△BPCで何か出てこないか、ということでしょう。
ここで気づくことは、
，
と向かい合っている辺AC，辺BCの長さがともに
で等しいということです。となれば、正弦定理を使おうということになります。
，
，
とすると、△APC，△BPCにおいて正弦定理より、
，
となります。
，
より、
または 
(i) 
の場合、△APCと△BPCは、2頂角が等しくなるので、 ということは、点Pはy 軸上のC以外の点だということです。
(ii) 
の場合、 ・点Pがx軸上にくると、A，B，Pが一直線上に並びます。
点Pが
，
の部分にあるときには、
とはなり得ません。
点Pが
の部分に来ると、
，
となり、
をみたします。
点Pが
の部分に来ると、
，
となり、
をみたします。
つまり、点Pは、x軸の
の部分の点です。 ・上記で検討したように、点Pが“
かつ
”の部分、または、“
かつ
の部分に来ることはありません。
，
のいずれか一方が他方を含んでしまうので、
となり得ないからです。 また、
の場合は、
のいずれか一方は
以上の角になりますが、“
かつ
”，“
かつ
”の部分に点Pが来てしまうと、
，
はともに鋭角になってしまう(
が鈍角になるためには、点Pは
の部分に来なければならない)ので、点Pが第3象限、第4象限に来ることはありません。 
(i)，(ii)より、点Pの軌跡は、y 軸上の点Cを除く部分、または、x軸上の
の部分、または、原点を中心とする半径1の円：
の
の部分 ......[答]
図示すると、右図太線のようになります。
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，
が互いに補角をなすので、円に内接する四角形です。しかも、
なので、四角形APBCは、ABを直径とする円(原点を中心とする半径1の円)に内接します。つまり、点Pは、原点を中心とする半径1の円：
の周上、第1象限、第2象限の部分の点です。