東大文系数学'08年前期[4]
pを自然数とする。次の関係式で定められる数列
，
を考える。
(1)
に対し、次の2つの数がともに
で割り切れることを示せ。 
，
(2) pを3以上の奇数とする。このとき、
は
で割り切れるが、
では割り切れないことを示せ。
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解答 連立漸化式の問題に見えますが、整数の問題です。
面倒な計算をどうやりきるか、ということでしょうか。
，
･･･①(Ⅰ) 
のとき、 
，
はともに
で割り切れます。 (Ⅱ) 
のとき、
，
がともに
で割り切れる、つまり、
，
を整数として、
，
と書ける、と、仮定します。 
･･･②
･･･③
･･･④
･･･⑤④－②より、
･･･⑥①，③より、
これと
より、⑥は、 中カッコ内は整数なので、
は
で割り切れます。
⑤－③より、 
･･･⑦①より、
･･･⑧②＋③より、
⑧に代入して、
長いのでこの中カッコを
とおきます。
は連続2整数の積で偶数なので
は整数です。
を⑦に代入し、 ③より、
なので、 カッコ内は整数なので、
は
で割り切れます。
以上より、
，
はともに
で割り切れるので、
のときも成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、
に対し、
，
がともに
で割り切れることが示されました。
(2) (1)より、
に対し、
を整数として、 とおくことができます。
∴ 
pは奇数なので
は偶数であり
は整数です。
も整数です。中カッコ内はpの倍数に1を加えたものになっていて、pが3以上の奇数のときにはpで割り切れません。
よって、
が
で割り切れるが、
では割り切れないことが示されました。
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，
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