東大文系数学'13年[3]
a，bを実数の定数とする。実数x，yが
，
の最小値を求めよ。
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解答 難問とは言えませんが、慎重な場合分けの考察が必要な問題です。なお、線形計画法を参照してください。
，
なお、 円 C：
，直線
：
の交点は、両式を連立して解くことにより、A
，B
です。
より、
･･･①
のとき、半径
，中心
の円です。
のときは、
となり、ただ1点です。zは、ただ1通りの値
しかとり得ないので、この場合のzの最小値は、
です。
のときは、①を満たす
は存在しません。
以下、円①の中心が、(i)領域Dの外側にある場合、(ii)領域Dの内部にある場合、に分けて考察します。
(i) 円①の中心
が、領域Dの外側にある場合 このときは、円①が領域Dと共有点をもつために少なくとも
(つまり、
)となり、zが小さくなると円①の半径が小さくなることに注意して、円①と領域Dが共有点をもつ条件を考えます。
円の半径が小さくなりすぎると、領域Dと共有点をもたなくなります。
従って、zが最小になるとき、円①は領域Dと接するか、領域Dと点A，点Bのみを共有するようになります。
領域Dのどの部分で接するかにより、場合分けをします。右図に(a)～(d)の各状況を図示します。 (a) 円①が、円Cの優弧
上の1点Pで接する場合 円①の中心は円Cの外側にあり、円①の中心と円Cの中心を結ぶ直線は接点Pを通ります。従って、この場合、Pが優弧
上に位置するためには、円①の中心は、直線OA (
)から左側かまたは直線OB (
)から下側の領域になければなりません。
つまり、
は、「
かつ”
または
”」を満たします。zが最小値
になるとき、2円は外接するので、2円の中心間距離は2円の半径の和に一致します。よって、 ∴ 
(b) 円①が、線分ABと接する場合
接点をQとして、円①の中心とQを結ぶ半径は線分ABと垂直になるので、円①の中心
は、線分AB(直線
)の右上であって、線分AB(直線
)とAで直交する直線(
)と、線分AB(直線
)とBで直交する直線(
)にはさまれた領域に存在しなければなりません。
つまり、
は、「
かつ
」を満たします。zが最小値
になるとき、円①の半径は、円①の中心
と直線
との距離に一致します。よって、 ∴ 
(c) (a)(b)以外で、円①が、領域DとAのみを共有する場合
このとき、
は、
かつ
を満たします。zが最小値
になるとき、円①はAを通ります。 ∴ 
(d) (a)(b)以外で、円①が、領域DとBのみを共有する場合
このとき、
は、
かつ
を満たします。zが最小値
になるとき、円①はBを通ります。 ∴ 
(ii) 円①の中心
が、領域Dの内部にある場合 このときは、①がただ1点
を表すときにも、領域Dと共有点をもつので、このときzは最小となり、 以上まとめて、zの最小値は、
かつ「
または
」のとき、
かつ
のとき、
かつ
のとき、
のとき、
かつ
のとき、
......[答]
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