東大理系数学'20年前期[2]
平面上の点P，Q，Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を
で表す。また、P，Q，Rが同一直線上にあるときは、
とする。
A，B，Cを平面上の3点とし、
とする。この平面上の点Xが
を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
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解答 難問のように見えますが、やってみると、高校の入試問題か、という雰囲気です。
問題文の条件は、
･･･(＊)
まず、Xが三角形ABCの内部、または周上の点だとする(右図)と、
このとき、Xは条件を満たしません。Xは三角形ABCの外部の点、ということになりますが、面積
，
，
を考えると、Xが辺ABに関して三角形ABCと反対側、Xが辺BCに関して三角形ABCと反対側、Xが辺CAに関して三角形と反対側、などで、考え方を変えなければいけないので、場合分けの仕方が見えてきます。
右図のように、各辺を延長した3本の直線により、平面を7つの領域①，②，③，④，⑤，⑥，⑦に分けます。直線上の点は隣接する領域に含めて考えます。前述のように、Xが領域①にあるときは、Xは条件を満たしません。
(i) Xが領域②にあるとき(右図)、Xが、直線BC上、直線CA上にあるときを含めて、直線XCと直線ABとの交点をD (DがAと一致するときは
，DがBと一致するときは
，DがXと一致するときは
)とします。右図より、
(ii) Xが領域③にあるとき(右図)、直線XBと辺CAとの交点をE (EがCあるいはAと一致することもあります)とします。右図より、(iii) (i)，(ii)と同様にして、Xが領域④，領域⑤，領域⑥，領域⑦にあるときは、直線CA上でCについてAと反対側に、
となるような点Lを、
となるような点Sをとり、直線BC上でCについてBと反対側に、
となるような点Mを、
となるような点Tをとり、直線AB上で、AについてBと反対側に、
となるような点Nを、
となるような点Uをとると、Xは、台形KLSR、台形LMTS、台形MNUT、台形NIPUのそれぞれの内部または周上にあります。 
以上を図示すると、Xは右図黄緑色着色部の内部または周上にあり、
Xの動きうる範囲の面積は、台形IJQP、台形JKRQ、台形KLSR、台形LMTS、台形MNUT、台形NIPUを合わせて、
......[答]
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，
，
より、
，
，つまり、
･･･⑧
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線CA上でAについてCと反対側に、
となるような点Iをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、
となるような点Jをとると、Xは線分IJ上(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線CA上でAについてCと反対側に、
となるような点Pをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、
となるような点Qをとると、Xは線分PQ上(両端を含む)にあります。
Xが領域②にあるときには、⑧となるのは、
となるときで、Xは台形IJQPの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)。
，
より、
，
，つまり、
･･･⑨
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線AB上でBについてAと反対側に、
となるような点Kをとると、Xは線分JK上(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、
となるときで、このとき、直線AB上でBについてAと反対側に、
となるような点Rをとると、Xは線分QR上(両端を含む)にあります。
Xが領域③にあるときには、⑨となるのは、
となるときで、Xは台形JKRQの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)。
，
，
，
より、