東京大学理系2020年前期数学入試問題
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[1] a，b，c，pを実数とする。不等式
をすべて満たす実数xの集合と、
を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) a，b，cはすべて0以上であることを示せ。
(2) a，b，cのうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) 
であることを示せ。 [解答へ]
[2] 平面上の点P，Q，Rが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積を
で表す。また、P，Q，Rが同一直線上にあるときは、
とする。
A，B，Cを平面上の3点とし、
とする。この平面上の点Xが
を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。
[解答へ]
[3] 
を満たす実数tに対して
とする。座標平面上の点P
を考える。
(1) 
におけるtの関数
は単調に減少することを示せ。 (2) 原点とPの距離を
とする。
におけるtの関数
の増減を調べ、最大値を求めよ。 (3) t が
を動くときのPの軌跡をCとし、Cとx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに
回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。 [解答へ]
[4] n，kを、
を満たす整数とする。n個の整数
(
)
個の積の和を
とおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、
を求めよ。 (2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。
と
をxについての整式として表せ。 (3) 
をn，kで表せ。 [解答へ]
[5] 座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点
を頂点とする円錐(内部を含む)をSとする。また、点A
を考える。
(1) 点PがSの底面を動くとき、線分APが通過する部分をTとする。平面
によるSの切り口および、平面
によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。 (2) 点PがSを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。
[解答へ]
[6] 以下の問いに答えよ。
(1) A，αを実数とする。θの方程式
を考える。
のとき、この方程式は
の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。 (2) 座標平面上の楕円
C：
を考える。また、
を満たす実数rに対して、不等式 が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数r (
)が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。 条件：C上の点Qで、QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。
[解答へ]
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