東大理系数学'20年前期[6]
以下の問いに答えよ。
(1) A，αを実数とする。θの方程式
を考える。
のとき、この方程式は
の範囲に少なくとも4個の解を持つことを示せ。 (2) 座標平面上の楕円
C：
を考える。また、
を満たす実数rに対して、不等式 が表す領域をDとする。D内のすべての点Pが以下の条件を満たすような実数r (
)が存在することを示せ。また、そのようなrの最大値を求めよ。 条件：C上の点Qで、QにおけるCの接線と直線PQが直交するようなものが少なくとも4個ある。
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解答 
のグラフを描いておいて、
のグラフをいろいろ平行移動させ、交点のでき方を調べたり、楕円を描いて、いろいろと接線・法線を引いて、どこから法線を引くと条件を満たすか、など、試験会場でも時間をかけて調べる必要があると思います。こういう問題では、運の良い悪いもかなり影響してしまいます。教えてもらってしまえば大したことでなくても、方程式が本当に4解持つか考えるときなど、鋭い嗅覚で運をつかむことも大切です。
(1) 方程式
(＊) 従って、 (＊)は、
，
，
の各範囲に少なくとも1解を持ちます(中間値の定理を参照)。
について、
，
，
について場合分けします。
・
，つまり、
のとき、 
，
より、
①より、(＊)は、
において、少なくとも1解を持ちます。・
，つまり、
のとき、
より、
は(＊)の解です。
・
，つまり、
のとき、 
，
より、
②より、(＊)は、
において、少なくとも1解を持ちます。以上より、
のとき、方程式(＊)は、
の範囲に少なくとも4個の解を持ちます。 追記．これで、(1)は示せているわけですが、ここで、鼻を利かせて、
だったらどうなるのか、ということを調べてみます。
のとき、
と
の振幅はともに1になります。
のグラフを描いておいて、
のグラフをいろいろ平行移動させていくと、だいたい、4交点を持ちそうなのですが、
と
の山の位置が重なったらどういうことになるのか、ということに気づきます。
例えば、
のグラフを左に(
方向に)
だけ平行移動させると、
あたりで山の位置が重なります。そこで、
，
の場合を調べてみます。方程式(＊)は、このときは、方程式(＊)は、
の範囲に3解
しか持ちません。
でなければ、方程式(＊)が必ず4解を持つとは言えないのです。
これと垂直な直線は、x，yの係数をひっくり返して、片方にマイナスをつけることにより、 
(c：定数) ･･･⑤これがQを通ることから、
，つまり、
よって、⑤は、
不等式
という書き方から、
とおいて、 ⑥が楕円
上の点
を通るとして、 θの方程式：
･･･⑦ が、少なくとも4個の解を持つのは、(1)より、
，すなわち、
のときです。
つまり、
となるようにrをとれば、
となる全ての点Pについて、条件Cは満たされ、条件Cを満たすrは存在します。
また、
のときには、(1)の追記で述べたように、
となって、⑦が4解持たない場合があるので、4解持つためには
であることが必要で、rの最大値は
......[答]
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，
とおきます。
，
より、
，
･･･①
，
，
，
･･･②
･･･③ または 
･･･④
より、
，この範囲では、
∴ 
より、
，この範囲では、
∴ 
，両辺を
で割って、
･･･⑥
上の点
