東大理系数学'20年前期[4]
n，kを、
を満たす整数とする。n個の整数
(
)
個の積の和を
とおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、
を求めよ。 (2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。
と
をxについての整式として表せ。 (3) 
をn，kで表せ。
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解答 眼力ある受験生なら、問題文を見ただけで、基本対称式、例えば、
(3文字から1文字を選んで和を作る)，
(3文字から2文字を選んで作った積の和)，
(3文字から3文字を選んで作った積)のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、n，kに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
まず、
のとき、1個の整数、
から異なる1個を選んで積を作ると、
個の積の和
は、
となります。後で、見通しをよくするために、
と書かないで、問題文の例の通り、
と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
の2通りの可能性があります。2個の整数は、
として、
です。
のときは、2個から1個を選んで積を作ると、
個の積の和
は、
(
)となります。
のときは、2個から2個を選んで積を作ると、
個の積の和
は、
(
)となります(組み合わせを参照)。
のとき、k = 1，2，3の3通りの可能性があります。3個の整数は、
として、
です。
のとき、3個から1個を選んで積を作ると積の和は、
(
)
のとき、3個から2個を選んで積を作ると積の和は、
(
)
のとき、3個から3個を選んで積を作ると積の和は、
(
)
のとき、4個の整数は、
です。
は問題文に出ていますが、
(
)，
(
)，
(
)，
(
)
(1) 上記で、
個の積の和
から考えると、
個の積の和
は、
(2) 
，
がxの整式で表される、ということは、
は、
でも、
でも割り切れる、ということです。 
より、と、因数分解できるので、
，
より、
これで、問題の背景が見えてきます。
の場合、
，
，
として、
，
，
となるので、一般のnの場合、
，
，･･･，
でn文字についての基本対称式を作っているわけです。 となるので、
のようになっているのだろうと察知できます。最初から気づければ、本問はひたすら手を動かすだけの計算問題ですが、試験会場で、
，
，
と調べるうちに気づく、というので充分に間に合います。
を証明します。 
(
)は、n個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対して作った積(
個ある)の和です。つまり、･･････
(
)は、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。さて、
･･･①まず、xの係数は、
の係数は、つまり、n個の整数
から異なるk個を選んで積を作り、k個の整数の選び方すべてに対して作った積(
個ある)の和、
と、n個の整数
から異なる
個を選んで積をとり、
個の整数の選び方すべてに対して作った積(
個ある)の各々に
をかけたのもの
との和になっていて、結局、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対して作った積(
個ある、
に注意)の和
になっているので、 
･･･②
の係数は、
これより、①は、従って、
......[答] ･･･③ よって、
......[答] ･･･④ 注．上記のように
の証明を計算して示すのでは、時間がかかる上に、答案用紙に書ききれなくなります。実戦的には、②の説明を書いて、③，④を導く程度で妥協するべきです。あるいは、
として、 と因数分解できる、と、最初から断定して答案を書き始めるのが賢明です。
(3) ④より、
の係数(上式の二重線)は、
･･･⑤
②でkを
に代えると、
，よって、
，⑤に代入すると、
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，
，
は
で割り切れて、
は
で割り切れて、
(
)の係数は、
，③を繰り返して用いることにより、
，
......[答]
......[