東大理系数学'20年前期[3]

東大理系数学'20年前期[3]

を満たす実数tに対して

とする。座標平面上の点P

を考える。

(1)

におけるtの関数

は単調に減少することを示せ。

(2) 原点とPの距離を

とする。

におけるtの関数

の増減を調べ、最大値を求めよ。

(3) t が

を動くときのPの軌跡をCとし、Cとx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに

回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。

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解答　原点をOとして、(1)の

は直線OPの傾きです。t が

から1まで変化するとき、直線OPの傾きが単調に減少する、ということは、直線OPは時計回りに回るだけ(逆回りには動かない)、と言っています。

(1)

を平凡に微分する(商の微分法、合成関数の微分法を参照)と、

実は、ここで困ることがあります。問題文では、

となっているのに、

において導関数

が定義できないのです。範囲を

としてくれていればよいのに、出題者が少し意地悪をしています。
そこで、答案を書くときには、

を使わずに、以下のように、違う視点から書く必要があります。

と書くと、

の範囲で

は単調に増加するので、

は単調に減少し、

も単調に減少し、

は単調に減少します。

(2)

より、

陰関数の微分法で微分します。

∴

，

，また、

において

なので、

における増減表は以下(関数の増減を参照)。

t					1
	×	＋	0	－
	0

増減表より、

の最大値は、

のとき、

......[答]
このとき、

，

です。

(3) グラフの概形を確認しておきます。

，

増減表は、以下のようになります。

t					1
		＋	＋	＋
x	0
		＋	0	－
y	0				0

(1)，(2)も考慮して、Cの概形は右図

のようになります(媒介変数表示された関数のグラフを参照)。
これを時計回りに

回転すると、Dの通過部分は、右図黄緑色着色部のようになります。
C上で原点から最も遠い点

は、半径

の円弧の

を描いて、図の点

に来ます。曲線Cの端点

は図の点

に来ます。黄緑色着色部のうち、線分

，弧

，y軸で囲まれた部分は、線分

，弧

，x軸に囲まれた部分と重なります。従って、求める面積Sは、曲線Cとx軸で囲む面積と半径

の円の面積の

を合わせたものになります。よって、

により置換積分を行うと、x：

のとき、t：

，

より、

ここで、

は半径1の円の面積の

に等しく

，

は、被積分関数

が奇関数で0，よって、

.......[答]

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