平面ベクトルの応用 関連問題
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この項目については、ベクトルの1次独立、直線のベクトル方程式を参照してください。
三角形OABがあるとき(
と
が1次独立であるとき)、s，tを実数として、
で定まる点Pについて、
(i) 
であれば、点Pは直線AB上の点。
(ii) 
かつ 
かつ 
であれば、点Pは線分AB上の点(両端を含む)。
(iii) 
かつ 
かつ 
であれば、点Pは三角形OABの周上または内部の点。
(i) 
を用いて、sを消去すると、
となりますが、これは、点Aを通り
に平行な直線、つまり、直線ABのベクトル方程式に他なりません。よって、点Pは直線AB上の点になります。
(ii) 
かつ 
かつ 
であるとき、
より
、よって、
を用いて、sを消去すると、
より、点Pは、線分ABをt：
に内分する点で、
より、点Pは線分AB上の点。
のとき、点Pは点Aに一致し、
のとき、点Pは点Bに一致するので、線分ABの両端が含まれることになります。
(iii) 
とおきます。
かつ 
かつ 
より、
です。
すなわち
のときは、
で、点Pは原点Oに一致します。
のとき、
の両辺をkで割って、
，
，
とおくと、
，
，
･･･①
また、
，
より、
とおくと、①より、点Qは線分AB上の点(両端を含む)で、
，
より、Pは線分OQ上のO以外の点。
以上より、点Pは、三角形OABの周上または内部の点です。
以上の(i)，(ii)，(iii)について、右図のように、
，
を1目盛りとする、ひしゃげた座標系(斜交座標系)をとって、直交座標系と同じように考えると、(i)の
は2点
，
を結ぶ直線であり、(ii)の
，
，
は、直線
の
の部分であり、(iii)の
，
，
は、原点O，
，
を3頂点とする三角形の周上、または内部であることとの比較を考えれば、直感的に納得がいくと思います。
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