球面のベクトル方程式 関連問題
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中心の位置ベクトルが
，半径rの球面上の点の位置ベクトル
は、
を満たします。
これが、ベクトルを用いた球面の方程式です。
ベクトルで扱うと、球面の方程式と円の(ベクトル)方程式は全く同じ形をしています。
空間において、
は球面上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、
･･･① が球面を表すのは明らかでしょう。
，
として、①式で、成分表示を考え
①式両辺を2乗して、
より、
①は、
となります。
これは座標空間内で考えたときの球面の方程式です。
①式とは違った形をしていますが、空間内において、
も球面を表します。
左辺を展開して、
について平方完成と同様の操作を行うと、
∴ 
･･･②
，
を点A，点Bの位置ベクトルだとして、
は、2点A，Bの中点の位置ベクトルです。
は2点AB間の距離です。
従って、②式は、A，Bの中点を中心として、AB間の距離の
を半径とする球面ということになります。これは、線分ABを直径とする球面です。
は、
，つまり、球面上の点Pについて、
であることを言っている式です。
点H，D，Pの位置ベクトルを、
，
，
として、
･･･③ は、Dを中心とする半径rの球面上の点Hにおける接平面を表します。
Hが球面上の点であることから、
より、
よって、
より、
∴ 
これは、
，つまり、接平面上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HDが垂直であることを意味しています。
，
，
として③を成分表示してみます。
よって、D
を中心とする半径rの球面：
のH
における接平面の方程式は、
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