早大理工数学'07年[5]
xy平面において、点
を中心とする半径5の円をC，点
を中心とする半径4の円をDとする。C，Dの共通接線のうち、C，Dが異なる側にあり傾きが正であるものを
，傾きが負であるものを
とし、C，Dが同じ側にあり傾きが正であるものをmとする。以下の問に答えよ。
(1) 直線
の方程式を求めよ。 (2) 直線mの方程式を求めよ。
(3) 三直線
，
，mのすべてに接しC，Dと異なる円をE，
とする。二円E，
の中心のx座標を求めよ。 (4) (3)の円E，
の半径を求めよ。
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解答 (1)(2)は相似を考えて図形的に処理する方がラクですが、ここではオーソドックスにやってみます。
C，Dの共通接線の方程式を
･･･① とおきます。
題意より、①と
との距離が5なので(円と直線の位置関係を参照)、
･･･②
との距離が4なので、
･･･③
を消去して、絶対値を外すと、
･･･④
④の複号のプラスをとると、
･･･⑤
整理すると、
2乗して、
∴ 
これと⑤を①に代入し、aで割る(
なら直線を表さない)と、
･･･⑥
④の複号のマイナスをとると、
･･･⑦
②より、
5で割り2乗すると、
∴ 
これと⑦を①に代入し、aで割ると、
･･･⑧
(1) ⑥，⑧のうち、C，Dが異なる側にあり傾きが正であるものは、
：
......[答]
(2) ⑥，⑧のうち、C，Dが同じ側にあり傾きが正であるものは、
m：
......[答]
(3) 
：
(4) 円E，
の半径をr，中心のy座標をdとする(題意より、
)と、
：
と
との距離がrなので、 分母を払い、⑨を代入して、
で割り、絶対値を外すと、∴ 
......[答]
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，
を共通接線とする円の中心は、
，
のなす角の2等分線上に来ます。つまり、円E，
の中心はy軸上にあるので、そのx座標は0 ......[答]
(
) ･･･⑨
と
との距離がrなので、
