円と直線の位置関係 関連問題
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半径rの円Cと直線lの位置関係は右図のように3通りに分類できます。
(a) 円Cと直線lとが2点で交わっている場合
(b) 円Cと直線lとが1点で接している場合
(c) 円Cと直線lとが互いに離れている場合
円Cの中心を
とすると、円の方程式：
･･･①
直線lの方程式：
･･･②
①，②を連立すると、
整理すると、
･･･③
③をxの2次方程式と見るときの判別式をDとします。
この2次方程式を解いて解があれば、解は、円と直線の共有点のx座標です。
右上図のdは円の中心
と直線l：
との距離だから、
(点と直線の距離を参照)
(a)のとき、③は相異なる2実数解をもつので、
右上図より、
(b)のとき、③は重解をもつので、
右上図より、
(c)のとき、③は実数解をもたず、
右上図より、
円と直線に関する入試問題では、交点の座標を求めるときは2次方程式③を考えますが、交点の座標を求めなくてよい場合は、円の半径rと、円の中心と直線との距離dとの大小関係を考える方がラクです。
例1 円
と直線
の2交点の距離を求める。
解答 円
の中心は
，半径は3
と直線との距離は、
右図より、円と直線の2交点の距離は、
......[答]
例2 円
と、定点
を通る直線が共有点を持たないような直線の傾きmの範囲を求める。
解答 定点
を通る直線が円と共有点を持たないとき、
と表せる。整理して、
直線と円が共有点を持たないことから、円の中心
とこの直線との距離は、半径
よりも大きく、
分母を払って2乗して同値で、
整理して、
を解くと、
∴ 
......[答]
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