点と直線の距離の公式 関連問題
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座標平面上において、点C
と直線l：
(直線の方程式を参照)との距離dは、
･･･①
[証明] 直線lの方程式をベクトル
とl上の点P
を指すベクトル
を用いて書き直します。
l：
･･･② さらに、
をl上の定点Q
を指すベクトルだとします。
これより、
･･･③
②に代入して、l：
･･･④
ここで、
はlと平行なベクトルだから、
④より、
はlと垂直なベクトル(直線lの法線ベクトル、直線のベクトル方程式を参照)です。
点Cからlにおろした垂線の足をHとします。
// 
より、
･･･⑤ (kは実数)と表せて、
より、
Hはl上の点だから、
であって、
より、
よって、
∴ 
点Cと直線lとの距離dは、⑤より、
③を用いて、
∴ 
(証明終)
注．点と直線の距離の導出はベクトルを用いて行うのがラクです。座標平面上で導出しようとすると細かく場合分けすることが必要になります。
上記と同様にして、点と平面の距離の公式を導くことができます。
平面上の任意の点
を指すベクトルを
とすると、平面の方程式は、平面上の1定点を指すベクトル
と、平面と平行であってかつ、互いに平行でなく
でもない(1次独立)2つのベクトル
，
を用いて、
･･･⑥ のように表せます。
この平面に垂直なベクトル
(従って、
，
)と⑥式両辺との内積を作ると、
より、
(
とおいた)
この平面と点C
との距離hは、上記の証明と全く同様にして、
(ベクトルで表せば、平面上と空間内とで全く同じ公式になります)
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