電荷が連続的に分布する場合のガウスの法則

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微分型のガウスの法則：

　･･･①

は、位置ベクトル

で指定される位置の微小体積部分

に密度

の電荷が存在する場合、この微小体積内の電荷は

であり、これを電荷が存在する領域V(閉曲面Uで囲まれた領域)に渡って体積分すれば全電荷になります。
つまり、①の

を

と考えることができます。
ガウスの定理により、①の左辺は、

よって、①は、電荷が連続的に分布する場合には、

　･･･②

閉曲面の外側に位置する電荷は、閉曲面内の電界には影響しないので、どのように閉曲面をとっても②式は必ず成立します。つまり、空間内のいかなる点においても被積分関数は等しくなります。即ち、

　･･･②

②式は、微分型のガウスの法則と呼ばれます。
②式は、空間内に分布する全ての電荷から電気量の

倍の本数の電気力線が出て行く(負電荷なら終端する)ことを意味しています。②式右辺のρは電荷密度ですが、電界

は電気力線の密度であることに注意してください。

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