ガウスの定理
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ガウスの定理：
空間内のある凸な閉曲面Uで囲まれた領域Vで定義され、領域V内の点
における値が
で与えられる関数があるとします。
領域Vは、
，
をy，zで決まる関数，
，
をzで決まる関数だとして、
を満たす凸な領域だとします(凹んだところがある場合にはもっと複雑です)。
関数
をxで偏微分(y，zを固定して微分)したものを領域Vにおいて体積分します。
は、xを固定して積分するので、
x軸に平行な直線が閉曲面Uと接する点をつないでできる曲線で閉曲面をx座標の小さい側のAと大きい側のBに分けて、面積分を考えると、
ここで、同一のy，zに対する曲面A，Bの面積素片はx軸正方向の側を向いています。閉曲面Uの曲面A側の部分はx軸負方向の側を向いています。2つの面積分を閉曲面Uの面積分一つにまとめると、
同様な関数
，
を考えて、
ここで、ベクトル値をとる関数
を考えると、閉曲面Uの面積素片を
として、
，
より、
･･･① (divについては、発散を参照)
①式左辺の
は、領域V内の各点でベクトル
が湧き出したり吸い込まれたりする量を表しています。①式右辺の
は、ベクトル
が閉曲面Uの各点から外に出て行く量を表しています。
ガウスの定理は、閉曲面Uで囲まれた領域V内の各点においてベクトル
が湧き出したり吸い込まれたりする量を全部合わせると、閉曲面Uを通過して出入りする量になる、ということを意味しています。
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