阪大物理'01年前期[2]
音源とマイクロホンを準備した。マイクロホンは受けた音波(密度変化の波)の振幅A ()，振動数f，位相を測定することができる(位相とは、tを時刻として波形をと表したときののことである)。音源のところでの波形はで表される。音速をVとして、以下の問題に答えよ。
Ⅰ　図1のように音源をに、マイクロホンを原点に固定する。
問1　マイクロホンで測定した波形はであった。αをL，，Vを用いて表せ。
Ⅱ　図2のように、原点にマイクロホンを固定した状態で、音源がx軸の正の方向に速さu ()で動いている。時刻に音源がを通過した。
問2　時刻に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻を求めよ。
問3　マイクロホンで測定した波形はであった。β をL，，Vを用いて表せ。
問4　時刻に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻を求めよ。ただし、時刻で音源はx軸の負の領域にあるものとせよ。
問5　時刻に音源から出た音波の位相と、時刻にマイクロホンが受けた音波の位相を比べることによりとの関係を求めよ。解答の際には計算の過程を簡潔に記せ。
Ⅲ　図3のように、2台の音源をそれぞれとに固定した。それぞれの音源が単独に音を出したとき、原点に置いたマイクロホンで測定した波形はどちらも同じで、であった。
問6　両方の音源が同時に音を出した。マイクロホンで測定する波形を求めよ。ただし、ここではαはそのまま用いてよい。
問7　次にマイクロホンの位置をx軸の正の方向に少しずらせて測定したところ、振幅は0になった。このときのマイクロホンのx座標を，Vを用いて表せ。ただし、この位置は原点に最も近い振幅が0になる位置である。また、片方の音源だけが音を出しているとき、マイクロホンを少しぐらい動かしても、マイクロホンで測定する振幅は変化しないと考えてよい。


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解答　音波の基本からドップラー効果の公式を導こう、という問題です。
なお、波動現象、位相を参照してください。

Ⅰ　問1 に位置する音源を出た音波が速さVで進んでに位置するマイクロホンに届くのに、時間を要します。従って、マイクロホンで測定した波形では、音源での位相が時間遅れてとなります。
∴ ......[答]

Ⅱ　問2 音源を出てしまえば、音波は音源の移動の影響は受けません。問1と同様に時間をかけてマイクロホンに到達するので、マイクロホンに到達する時刻は、 ......[答]

問3 音源をに出た音波はにマイクロホンに到達するので、問1と同様に、
∴ ......[答]

問4 時刻に音源は ()に来ています。ここで音源を出た音波は距離進んでマイクロホンに到達します。到達するまでの時間は，到達する時刻は、
......[答]

問5 問4において、における音源の位相とにおけるマイクロホンにおける位相は等しくなります。つまり、
∴ ......[答]
注．における音源の位相とにおけるマイクロホンにおける位相が等しくなる、という意味がわかりづらいかも知れません。右図のように、ドップラー効果により、音源を出たときの振動数とマイクロホンが観測する振動数が異なるのですが、のときに音源を出た振動がにマイクロホンに到達するわけです。位相が等しくなる、というのは、に音源を出たときの音波の振動が波１つ分のどの辺にあたるか、ということと、にマイクロホンに到達したときの音波の振動が波1つ分のどの辺にあたるか、ということが同じになる、ということを意味しています。

Ⅲ　問6　となる2波が重ね合わされるので、
......[答]

問7　問6ではに位置するマイクロホンが両波源から等距離にあって、2波は強め合いました。は2波が作る定常波の腹になっています。定常波では隣り合う腹と腹の距離は波長の，隣り合う腹と節の距離は波長のです。
音波の波長はなので、求めるx座標は、 ......[答]
別解．左の音源から座標xに位置するマイクロホンに到達する波は、
右の音源から座標xに位置するマイクロホンに到達する波は、
2波を重ね合わせると、
　(波の干渉を参照)
座標xにおいて振幅が0になるので、
mを整数として、
∴
においてに最も近いのはの場合で、 ......[答]


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