阪大物理'01年前期[2]
音源とマイクロホンを準備した。マイクロホンは受けた音波(密度変化の波)の振幅A (
)，振動数f，位相を測定することができる(位相とは、tを時刻として波形を
と表したときの
のことである)。音源のところでの波形は
で表される。音速をVとして、以下の問題に答えよ。
Ⅰ 図1のように音源を
に、マイクロホンを原点に固定する。問1 マイクロホンで測定した波形は
であった。αをL，
，Vを用いて表せ。 Ⅱ 図2のように、原点にマイクロホンを固定した状態で、音源がx軸の正の方向に速さu (
)で動いている。時刻
に音源が
を通過した。 問2 時刻
に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻を求めよ。 問3 マイクロホンで測定した波形は
であった。β をL，
，Vを用いて表せ。 問4 時刻
に音源から出た音波が、マイクロホンに到達する時刻
を求めよ。ただし、時刻
で音源はx軸の負の領域にあるものとせよ。 問5 時刻
に音源から出た音波の位相と、時刻
にマイクロホンが受けた音波の位相を比べることにより
と
の関係を求めよ。解答の際には計算の過程を簡潔に記せ。 Ⅲ 図3のように、2台の音源をそれぞれ
と
に固定した。それぞれの音源が単独に音を出したとき、原点に置いたマイクロホンで測定した波形はどちらも同じで、
であった。 問6 両方の音源が同時に音を出した。マイクロホンで測定する波形を求めよ。ただし、ここではαはそのまま用いてよい。
問7 次にマイクロホンの位置をx軸の正の方向に少しずらせて測定したところ、振幅は0になった。このときのマイクロホンのx座標を
，Vを用いて表せ。ただし、この位置は原点に最も近い振幅が0になる位置である。また、片方の音源だけが音を出しているとき、マイクロホンを少しぐらい動かしても、マイクロホンで測定する振幅は変化しないと考えてよい。
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解答 音波の基本からドップラー効果の公式を導こう、という問題です。
なお、波動現象、位相を参照してください。
Ⅰ 問1 
に位置する音源を出た音波が速さVで進んで
に位置するマイクロホンに届くのに、時間
を要します。従って、マイクロホンで測定した波形では、音源での位相
が時間
遅れて
となります。 ∴ 
......[答]
Ⅱ 問2 音源を出てしまえば、音波は音源の移動の影響は受けません。問1と同様に時間
をかけてマイクロホンに到達するので、マイクロホンに到達する時刻は、
......[答]
問3 音源を
に出た音波は
にマイクロホンに到達するので、問1と同様に、 ∴ 
......[答]
問4 時刻
に音源は
(
)に来ています。ここで音源を出た音波は距離
進んでマイクロホンに到達します。到達するまでの時間は
，到達する時刻は、 
......[答]
問5 問4において、
における音源の位相
と
におけるマイクロホンにおける位相
は等しくなります。つまり、 ∴ 
......[答] 
注．
における音源の位相
と
におけるマイクロホンにおける位相
が等しくなる、という意味がわかりづらいかも知れません。右図のように、ドップラー効果により、音源を出たときの振動数
とマイクロホンが観測する振動数
が異なるのですが、
のときに音源を出た振動が
にマイクロホンに到達するわけです。位相が等しくなる、というのは、
に音源を出たときの音波の振動が波１つ分のどの辺にあたるか、ということと、
にマイクロホンに到達したときの音波の振動が波1つ分のどの辺にあたるか、ということが同じになる、ということを意味しています。
Ⅲ 問6 
となる2波が重ね合わされるので、 
......[答]
問7 問6では
に位置するマイクロホンが両波源から等距離にあって、2波は強め合いました。
は2波が作る定常波の腹になっています。定常波では隣り合う腹と腹の距離は波長の
，隣り合う腹と節の距離は波長の
です。 音波の波長は
なので、求めるx座標は、
......[答]別解．左の音源から座標xに位置するマイクロホンに到達する波は、
右の音源から座標xに位置するマイクロホンに到達する波は、
2波を重ね合わせると、 座標xにおいて振幅が0になるので、
mを整数として、
∴ 
において
に最も近いのは
の場合で、
......[答]
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