阪大物理'07年前期[1]
図のように、長さ
,質量Mの細く一様な剛体棒が、水平な床の上に床と角度
となるように置かれ、上端から
の位置で台のカドと接するように立てかけてある。台のカドは滑らかで、棒との間に摩擦力は働かない。床面はあらく、棒との間に摩擦力が働く。棒が床面に接する点をAとし、Aにおいて棒が床から受ける垂直抗力の大きさを
,摩擦力を
とする。また、棒が台のカドと接する点をBとし、棒に垂直な方向に働くBにおける抗力の大きさを
とする。
の正の方向は図に示す矢印の向きとする。また、棒と床面の間の静止摩擦係数をμ,重力加速度をgとする。棒の中心には重力
が働く。
T.水平な外力を棒の中心に加えたところ、棒は静止したままであった。ただし、水平外力の大きさは棒の重さのp倍(
)とし、右向きに働くときに
とする。 問1 棒に働く力の、点Aのまわりのモーメントのつりあいより、
を、M,L,g,pのうちの必要なものを用いて表せ。 問2 棒に働く力のつりあいより、
を、M,L,g,pのうちの必要なものを用いて表せ。 問3 棒に働く力のつりあいより、
を、M,L,g,pのうちの必要なものを用いて表せ。 問4
のときに棒が静止しているためのμの範囲を求めよ。 U.次に、棒が動かないように手で支えてから、棒の中心に水平外力を加えた。手を棒から放すと、水平外力(
)と静止摩擦係数(μ)の大きさに応じて、棒は静止したままか運動を始めるかのいずれかである。棒が静止したままであるためには、次の3つの条件が同時に満たされなければならない。 (条件a) 台のカド(点B)から棒が離れない。
(条件b) 床から棒が離れない。
(条件c) 床に接する棒の端部が左にも右にもすべらない。
今の場合、条件bは、条件cが満たされているときには、必ず満たされている。
問5 左向きの大きな水平外力(
)を加えたときに、条件aが破れてしまう。条件aが満たされるための、pの範囲を求めよ。 問6 床の静止摩擦係数が小さいときに条件cが破れてしまう。棒の下端が左にすべらないためにμ,
,
が満たすべき条件式を適当に式変形すると、pとμの間の関係式として次のように表せる。(1),(2),(3)に適当な数を入れよ。 問7 同様にして、棒の下端が右にすべらないためにpとμが満たすべき条件は次式で表せる。(4),(5),(6)に適当な数を入れよ。
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解答 力のモーメントの問題です。誘導が親切で、指示通りにやっていけば解答できますが、誘導がなくても解答できるようにしておきたいところです。
条件a),b),c)が与えられているのは、受験技巧など暗記してこなくても良い、というメッセージなのでしょうけれども、これくらいは知識としてもっているべきだと思います。
T.問1 点Aのまわりの力のモーメントを考えるので、
と
はうでの長さ(点Aから力の作用線に下ろした垂線の長さ)が0で考える必要はありません。 重力
(時計回り)のうでの長さは
,水平外力
(時計回り)のうでの長さは
,抗力
(反時計回り)のうでの長さは
,よって、点Aのまわりの力のモーメントのつり合いは(反時計回りを正として)、 ∴
......[答]
問2
を求めるためには鉛直方向の力のつり合いを考えます。鉛直方向に働く力は垂直抗力
(上向き)のほかに、重力
(下向き),抗力
の鉛直方向成分
(上向き),よって、鉛直方向の力のつり合いは、 問1の結果を用いて、
......[答]
問3
を求めるためには水平方向の力のつり合いを考えます。水平方向に働く力は静止摩擦力
(向きはわからない、正負ともありうる)のほかに、水平外力
(右向き),抗力
の水平方向成分
(左向き),よって、水平方向の力のつり合いは、 問1の結果を用いて、
......[答]
問4
で水平外力がなく、点Aで棒の下端は左側にすべろうとしているので、棒が静止しているためには、点Aで右向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることが必要十分(摩擦力を参照)です。
のとき、
,
∴ 
U.問5 台のカド(点B)から棒が離れない条件は、
∴
......[答]
問6 棒の下端が左側にすべらない条件は、右向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることです。
で割り整理すると、
・・・@(1)
,(2)
,(3) 1 ......[答]
問7 棒の下端が右側にすべらない条件は、左向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることです。
で割り整理すると、
・・・A
問8 領域を図示する際に
であることに注意します。
と問5の結果,問6の結果@,問7の結果Aをすべて満たせば、棒が静止したままになります。 @の境界線
・・・B に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、
,
,
として、 これは、
,
を漸近線とする双曲線です。
@は、
のとき、
・・・C
のとき、
・・・D
Aの境界線
に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、
,
,
として、 これは、
,
を漸近線とする双曲線です(Bとp軸に関して対称)。
Aは、
のとき、
・・・E
のとき、
・・・F
上記で、
のとき、CかつEを満たす必要がありますが、Eより
になってしまうので、
のときには条件をみたすμは存在しません。
結局、求める領域は、
かつDかつFの部分となり、図示すると右図斜線部(境界線を含む)。
図中の
は、Bとp軸との交点で、Bで
とすることにより、
(問5の結果の符号を変えたものに一致)
......[答]
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