阪大物理'07年前期[1]
図のように、長さ
，質量Mの細く一様な剛体棒が、水平な床の上に床と角度
となるように置かれ、上端から
の位置で台のカドと接するように立てかけてある。台のカドは滑らかで、棒との間に摩擦力は働かない。床面はあらく、棒との間に摩擦力が働く。棒が床面に接する点をAとし、Aにおいて棒が床から受ける垂直抗力の大きさを
，摩擦力を
とする。また、棒が台のカドと接する点をBとし、棒に垂直な方向に働くBにおける抗力の大きさを
とする。
の正の方向は図に示す矢印の向きとする。また、棒と床面の間の静止摩擦係数をμ，重力加速度をgとする。棒の中心には重力
が働く。
Ⅰ．水平な外力を棒の中心に加えたところ、棒は静止したままであった。ただし、水平外力の大きさは棒の重さのp倍(
)とし、右向きに働くときに
とする。 問1 棒に働く力の、点Aのまわりのモーメントのつりあいより、
を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。 問2 棒に働く力のつりあいより、
を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。 問3 棒に働く力のつりあいより、
を、M，L，g，pのうちの必要なものを用いて表せ。 問4 
のときに棒が静止しているためのμの範囲を求めよ。 Ⅱ．次に、棒が動かないように手で支えてから、棒の中心に水平外力を加えた。手を棒から放すと、水平外力(
)と静止摩擦係数(μ)の大きさに応じて、棒は静止したままか運動を始めるかのいずれかである。棒が静止したままであるためには、次の3つの条件が同時に満たされなければならない。 (条件a) 台のカド(点B)から棒が離れない。
(条件b) 床から棒が離れない。
(条件c) 床に接する棒の端部が左にも右にもすべらない。
今の場合、条件bは、条件cが満たされているときには、必ず満たされている。
問5 左向きの大きな水平外力(
)を加えたときに、条件aが破れてしまう。条件aが満たされるための、pの範囲を求めよ。 問6 床の静止摩擦係数が小さいときに条件cが破れてしまう。棒の下端が左にすべらないためにμ，
，
が満たすべき条件式を適当に式変形すると、pとμの間の関係式として次のように表せる。(1)，(2)，(3)に適当な数を入れよ。 問7 同様にして、棒の下端が右にすべらないためにpとμが満たすべき条件は次式で表せる。(4)，(5)，(6)に適当な数を入れよ。
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解答 力のモーメントの問題です。誘導が親切で、指示通りにやっていけば解答できますが、誘導がなくても解答できるようにしておきたいところです。
条件a)，b)，c)が与えられているのは、受験技巧など暗記してこなくても良い、というメッセージなのでしょうけれども、これくらいは知識としてもっているべきだと思います。
Ⅰ．問1 点Aのまわりの力のモーメントを考えるので、
と
はうでの長さ(点Aから力の作用線に下ろした垂線の長さ)が0で考える必要はありません。 重力
(時計回り)のうでの長さは
，水平外力
(時計回り)のうでの長さは
，抗力
(反時計回り)のうでの長さは
，よって、点Aのまわりの力のモーメントのつり合いは(反時計回りを正として)、 ∴ 
......[答]
問2 
を求めるためには鉛直方向の力のつり合いを考えます。鉛直方向に働く力は垂直抗力
(上向き)のほかに、重力
(下向き)，抗力
の鉛直方向成分
(上向き)，よって、鉛直方向の力のつり合いは、 問1の結果を用いて、
......[答]
問3 
を求めるためには水平方向の力のつり合いを考えます。水平方向に働く力は静止摩擦力
(向きはわからない、正負ともありうる)のほかに、水平外力
(右向き)，抗力
の水平方向成分
(左向き)，よって、水平方向の力のつり合いは、 問1の結果を用いて、
......[答]
問4 
で水平外力がなく、点Aで棒の下端は左側にすべろうとしているので、棒が静止しているためには、点Aで右向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることが必要十分(摩擦力を参照)です。
のとき、
，
∴ 
Ⅱ．問5 台のカド(点B)から棒が離れない条件は、
∴ 
......[答]
問6 棒の下端が左側にすべらない条件は、右向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることです。 
で割り整理すると、
･･･①(1) 
，(2) 
，(3) 1 ......[答]
問7 棒の下端が右側にすべらない条件は、左向きの静止摩擦力
が最大静止摩擦力
以下であることです。 
で割り整理すると、
･･･②
問8 領域を図示する際に
であることに注意します。
と問5の結果，問6の結果①，問7の結果②をすべて満たせば、棒が静止したままになります。 ①の境界線
･･･③ に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、
，
，
として、 これは、
，
を漸近線とする双曲線です。
①は、
のとき、
･･･④
のとき、
･･･⑤
②の境界線
に対して、問題文に指定されているような変形を行うと、
，
，
として、 これは、
，
を漸近線とする双曲線です(③とp軸に関して対称)。
②は、
のとき、
･･･⑥
のとき、
･･･⑦
上記で、
のとき、④かつ⑥を満たす必要がありますが、⑥より
になってしまうので、
のときには条件をみたすμは存在しません。
結局、求める領域は、
かつ⑤かつ⑦の部分となり、図示すると右図斜線部(境界線を含む)。
図中の
は、③とp軸との交点で、③で
とすることにより、
(問5の結果の符号を変えたものに一致) 
......[答]
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問8 条件a，b，cが同時に満たされて棒が静止したままであるためにpとμが満たすべき領域を、右図のグラフに斜線で示せ。ただし、グラフに記した直線や曲線のうち、必要なものを使うこと。さらに、グラフの中の
の値も答えよ。なお、
なる式は、
と変形される。この式は
と
を漸近線とする双曲線を表す。グラフ中の曲線はいずれも問6，問7の条件に対応する双曲線の一部になっている。
，(5) 
，(6) 
......[答]
