力のモーメント 関連問題
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いかなる力を加えられても変形せずに元の形状を保つ物体を剛体と言う。
力のベクトルが乗っている直線を力の作用線と言う。
力を加えても剛体は変形しないので、剛体にかかる力は、力の作用線上のどこで考えても同じ効果を及ぼす。
ある点Pと力の作用線との距離(点から力の作用線に下ろした垂線の長さ)を、その力のうでの長さと言う。
力の大きさとうでの長さの積に、その力が点Pのまわりに反時計回りに剛体を回転させようとしているときに正、時計回りに回転させようとしているときに負、となるような符号をつけたものを、力のモーメントと言う。
剛体に関するつりあいの条件は、剛体に働く力の和が零ベクトル、かつ、力のモーメントの和が零。
剛体に働く力の合力を考える場合、平行でない2力の和は、力の作用線の交点まで力を移動させて合力を考える。
同じ向きに平行な2力の合力は、力の大きさを
，
，力の作用線に垂直な直線との交点を
，
として、
を
：
に内分する点に、2力と同じ向きで大きさが
の力として考えることができる。
逆向きに平行な2力の合力は、力の大きさを
，
(
)，力の作用線に垂直な直線との交点を
，
として、
を
：
に外分する点に、
なら
の向き、
なら
の向きで、大きさが
の力として考えることができる。
逆向きに平行な2力の大きさが等しいときは、この2力を合成することはできない。この場合の2力を偶力と言う。偶力は、剛体を回転運動させる。力の大きさと2力の作用線間の距離との積を偶力のモーメントと言う。
大きさを考える必要のない物体の運動では、物体を質量を持った1個の点(質点と言います)と考えます。このときは、物体が静止もしくは等速度運動を続けるとき、合力が0として力のつりあいを考えればよいのですが、大きさを考える物体では、物体そのものの回転運動を考える必要が出てきます。
従って、剛体に関するつりあいの条件には、合力が零ベクトルになる、というだけでなく、回転しない条件、力のモーメントの和が0という条件を付け加える必要があります。
(1) 同じ向きに平行な2力の合成
右図において、合力が作用している点と力
，力
の作用線との距離はa，bなので、この点のまわりの力のモーメントのつりあいの式：
∴ a：b = 
：
(2) 逆向きに平行な2力の合成
右図において、合力が作用している点と力
，力
の作用線との距離はa，bなので、この点のまわりの力のモーメントのつりあいの式：
∴ a：b = 
：
この場合には、
のとき、外分点が存在しなくなるので、2力を合成できません。この2力を偶力と言いますが、剛体を回転させる働きをします(以下に詳述します)。
例 右図のように、質量M，長さLの一様な棒が水平な床に置かれていて、B端を、床となす角がθ の方向に大きさFの力で引っ張る。床と棒の間の静止摩擦係数がμだとして、棒が滑り出すことなく、B端が持ち上がるための角θ の条件を求めよ。
解答 B端が持ち上がる瞬間に、棒が床から受ける垂直抗力N，静止摩擦力fは、A端に働きます。
棒の重力は棒の中心に働いていて、この点で考えた力Fのうでの長さは、右図のように、
，力Fのモーメントは、
(反時計まわりに棒を回そうとするので正)です。
棒に働く鉛直方向の力のつり合い：
･･･①
棒に働く水平方向の力のつり合い：
･･･②
棒の中心のまわりの力のモーメントのつり合い：
･･･③
床と棒の間が滑り出さない条件：
･･･④ (摩擦力を参照)
①より、
･･･⑤
③に代入して、
∴ 
⑤より、
②より、
④より、
∴ 
......[答]
上記について、詳細に検討してみます。
質量mの物体に力
が働いているとき、物体の加速度を
として、
運動方程式：
の両辺と
との外積を考えます。
･･･①
は零ベクトルになります。従って、
これより、①の右辺は、
と書くことができて、
･･･②
左辺の
の大きさは、
と
のなす角をθ (
)として、
となりますが、
は、力
のうでの長さなので、
は、大学入試の試験範囲における力
のモーメントです。
一般的には、
を、力
のモーメントと言います。
もっと一般的に言うと、どんなベクトル
についても、
を、ベクトル
のモーメントと言います。大学入試においても、単に「モーメント」と言わないで、一々、「力の」モーメントと言うのは、そのためです。
②の右辺に出てくる
の大きさは、
と
のなす角をφ (
)として、
となりますが、これは、
と
で作る三角形の面積の2倍になっていて、ケプラーの第2法則に出てくる面積速度の2倍になっています。
ケプラーの第2法則は、物体に働く力が中心力(つねに、ある1定点を向く力)であれば、面積速度が保存されるという法則であって、面積速度は回転運動の勢いのようなものを表しています。一般的には、⑥式右辺の質量mを微分の中に入れて、
を角運動量と言います。
②式は、角運動量の時間変化は力のモーメントに等しい、力のモーメントが回転運動を起こすと言っている式です。
ここで、剛体を考え、剛体を質量
の部分に分けて考えます。
は剛体全体の質量です。
に位置する質量
の部分に力
が加えられているとします。この部分の運動方程式は、
この両辺を剛体全体で足し合わせます。各部分の質量は剛体なので時間変化はなく、
より、
剛体を考えているので、剛体の重心位置
は剛体内を移動することはなく、
より、
･･･③
が、剛体の全質量Mが重心に集中しているとして、剛体の並進運動を考えれば良い、ということを表しています。しかしながら、合力を考える場合に、力の作用点を1点にまとめられない力があります。それは、たがいに平行で等大逆向きの力(偶力)の場合です。
の中に偶力となるものがあるときには、③式では都合が悪いので、
を1点に働く力としてまとめられるものと、偶力になってしまうものに分け、並進運動については、③の左辺の
を、偶力となる組み合わせを除いた合力として考えます。
③式の左辺の中に、偶力となる組み合わせが残る場合、つまり、
という関係にある2力
，
という力が、
，
に働いているような組み合わせが残る場合には、③の左辺の
から偶力となるものだけを取り出して考えることにします。
が全て偶力となる力のみだとすると、
です(あるいは、力のつりあいが成立している場合を考えます)。この場合には、③は、剛体の重心が静止を続けるか、等速度運動を続けるということを示しています。
しかしながら、
，
を作用点とする、偶力となる組み合わせの2力
，
(
)については、運動方程式：
，
，
との外積をとると、
，
，
を重心の位置ベクトルと重心からのずれ
，
に分けて、
，
と書き、両者の和をとると、
また、
(偶力のモーメントと言います)とおくと、
この式の両辺を剛体全体について足し合わせると、
，
は重心からのずれなので、
より右辺第2項の和は
，また、
の時間変化の総和は
で、右辺第3項の和も
となり、第1項と第4項の和が生き残り、
，
として②を導いたのと同じ式変形を行えば、
は剛体の重心の角運動量です。
は重心から各部分を見たときの各部分の角運動量です。剛体については、偶力の総和が角運動量の時間変化である、という式を考えて回転運動を考えることになります。剛体については、合力
が零ベクトルであっても、偶力の和
が零ベクトルにならずに回転運動を行う場合があります。
従って、剛体のつりあいの条件は、「合力
が零ベクトルであってかつ、力のモーメントの和
が零ベクトル」ということになります。
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