横浜市大物理'07年[3]
平行な線路上を、上り列車Aと下り列車Bが静止、または逆向きに一定の速さで移動している。列車Bの先頭にある警笛が鳴らす警笛音を、列車Aに乗っている観測者が聞いている場合について以下の問い(1)～(3)に答えよ。ただし、列車Bの発する警笛音の振動数を
，音速をcとする。列車Aの進行方向と列車Aから見た列車Bの方向とのなす角をθとする。また、音速は列車の速さよりも十分大きく、上下線の線路間の距離は警笛音の波長よりも十分長いとする。
(1) 図1のように列車Aが点
で静止し、列車Bが速さ
で走っている場合を考える。(a) 列車が点Yを通過したときにある波面が出され、点
を通過したときに次の波面が出されたとする。このときの距離
を求めよ。 (b) 
とする。点Yより発せられた音波が点
に到達してから、点
より発せられた音波が点
に到達するまでの時間を求めよ。 
(2) 図2にように、列車Aが速さ
で走っていて、列車Bが静止している場合について考える。(a) 列車Aの速度の
方向成分を求めよ。 (b) ある短い時間に、列車Aの観測者が横切る波面の数を計算することにより、観測者が聞く警笛音の振動数
を求めよ。ただし、短い時間では、(a)で求めた速さは変化しないとしてよい。 
(3) 図3のように、列車Aと列車Bが同じ速さ
で走っている場合を考える。(a) 列車Aの観測者が聞く警笛音の振動数
をc，
，θ，
を用いて表せ。
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解答 斜め方向のドップラー効果について考える問題です。
(1)(a) ある波面が出されてから次の波面が出されるまでの時間は周期
です(波動現象、波の公式を参照)。この間に列車Bが速さ
で距離
進みます。 
......[答]
(b) 求める時間は、AがYで波面を発した時刻からAが
で発した波面が点
に到達する時刻までの時間から、AがYで波面を発してからその波面が
に到達するまでの時間を引いた時間になります(右図)。
......[答](c) (b)で求めた時間は観測者が聞く警笛音の周期
に相当します。(a)，(b)の結果を使って、 
より、
∴ 
......[答]
(2)(a) 列車Aの速度の
方向成分は、
......[答] 
(b) t秒間にAがXから
まで進むときのAの動きを
方向に投影して考えると、t秒間に
進み、
個の波面とすれ違います。XでAとすれ違った波面
はt秒間に
まで
進みますが、距離
の中に
個の波面があります。Aが
まで進み、
方向の投影が
進んで波面
とすれ違う瞬間に、
と
の間には
個の波面があるので、 ∴ 
∴ 
......[答]
(3)(a) (2)(b)の結果において音源の振動数を
と書き換えて、 
......[答](b) 1秒間あたりのうなりの回数は
です。 
に注意して、1秒間あたりのうなりの回数は、
･･･①
とすると、
とすると、
においては、
従って、
は、はじめに
で、
となる時刻に0となり、やがて
に近づいていきます。
より、グラフの概形は(vi) ......[答]また①式で、
として、
......[答]
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が
に比べて十分大きいときには、
としてよいことを利用して、観測者が聞く警笛音の振動数
をc，
，
，θ を用いて表せ。
で十分離れていた列車Bと列車Aが、ともに振動数
の警笛を鳴らしながら近づき、ある時刻ですれ違い、再び遠方に離れる場合を考える。列車Aの観測者と列車B先頭との水平方向の距離をL，平行な線路間の距離を
とする。
におけるLを
とし、
は
より十分大きいとする。
このとき観測者にはうなりが聞こえ、1秒間あたりのうなりの回数
は時間とともに変化した。
を縦軸、t を横軸とするグラフの概形として正しいものを図4の(i)～(vi)より選べ。さらに
を
，
，
，c，
，t を用いて表せ。
：
= 
：
