横浜市大物理'07年[3]
平行な線路上を、上り列車Aと下り列車Bが静止、または逆向きに一定の速さで移動している。列車Bの先頭にある警笛が鳴らす警笛音を、列車Aに乗っている観測者が聞いている場合について以下の問い(1)～(3)に答えよ。ただし、列車Bの発する警笛音の振動数を，音速をcとする。列車Aの進行方向と列車Aから見た列車Bの方向とのなす角をθとする。また、音速は列車の速さよりも十分大きく、上下線の線路間の距離は警笛音の波長よりも十分長いとする。
(1) 図1のように列車Aが点で静止し、列車Bが速さで走っている場合を考える。
(a) 列車が点Yを通過したときにある波面が出され、点を通過したときに次の波面が出されたとする。このときの距離を求めよ。
(b) とする。点Yより発せられた音波が点に到達してから、点より発せられた音波が点に到達するまでの時間を求めよ。
(c) がに比べて十分大きいときには、としてよいことを利用して、観測者が聞く警笛音の振動数をc，，，θ を用いて表せ。
(2) 図2にように、列車Aが速さで走っていて、列車Bが静止している場合について考える。
(a) 列車Aの速度の方向成分を求めよ。
(b) ある短い時間に、列車Aの観測者が横切る波面の数を計算することにより、観測者が聞く警笛音の振動数を求めよ。ただし、短い時間では、(a)で求めた速さは変化しないとしてよい。
(3) 図3のように、列車Aと列車Bが同じ速さで走っている場合を考える。
(a) 列車Aの観測者が聞く警笛音の振動数をc，，θ，を用いて表せ。
(b) で十分離れていた列車Bと列車Aが、ともに振動数の警笛を鳴らしながら近づき、ある時刻ですれ違い、再び遠方に離れる場合を考える。列車Aの観測者と列車B先頭との水平方向の距離をL，平行な線路間の距離をとする。におけるLをとし、はより十分大きいとする。
このとき観測者にはうなりが聞こえ、1秒間あたりのうなりの回数は時間とともに変化した。を縦軸、t を横軸とするグラフの概形として正しいものを図4の(i)～(vi)より選べ。さらにを，，，c，，t を用いて表せ。


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解答　斜め方向のドップラー効果について考える問題です。

(1)(a) ある波面が出されてから次の波面が出されるまでの時間は周期です(波動現象、波の公式を参照)。この間に列車Bが速さで距離進みます。
......[答]
(b) 求める時間は、AがYで波面を発した時刻からAがで発した波面が点に到達する時刻までの時間から、AがYで波面を発してからその波面がに到達するまでの時間を引いた時間になります(右図)。
......[答]
(c) (b)で求めた時間は観測者が聞く警笛音の周期に相当します。(a)，(b)の結果を使って、
より、
∴ ......[答]

(2)(a) 列車Aの速度の方向成分は、 ......[答]
(b) t秒間にAがXからまで進むときのAの動きを方向に投影して考えると、t秒間に進み、個の波面とすれ違います。XでAとすれ違った波面はt秒間にまで進みますが、距離の中に個の波面があります。
Aがまで進み、方向の投影が進んで波面とすれ違う瞬間に、との間には個の波面があるので、
： = ：
∴
∴ ......[答]

(3)(a) (2)(b)の結果において音源の振動数をと書き換えて、
......[答]
(b) 1秒間あたりのうなりの回数はです。
に注意して、1秒間あたりのうなりの回数は、
　･･･①
とすると、
とすると、
においては、
従って、は、はじめにで、となる時刻に0となり、やがてに近づいていきます。より、グラフの概形は(vi) ......[答]
また①式で、として、
......[答]


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