千葉大物理'09年[7]
一定の加速度で加速しながら近づいてくる音源の音は時間とともにどのように変化するか考察してみよう。図のように音源Sは時刻
において距離D離れた点Pを観測者Oに向かって走っており、そのときの速さは
であった。音源から出される音の周波数は
，音速はVであり、音源の速さは音速Vを超えないものとして、以下の問いに答えよ。
問1 最初に音源の速さが
で一定であった場合を考えよう。 (1) 時刻
(
)から時間
の間に音源Sから発射された波の個数はいくらか求めよ。ただし、1波長の波を1個と数えることとする。 (2) 時刻
において、時刻
で発射された波面と音源との間の距離を求めよ。 (3) 観測者Oに聞こえる音の周波数を求めよ。
問2 次に音源Sが一定の加速度a (
)で加速している場合を考える。問1と同様に、音源Sは時刻
において点Pを観測者Oに向かって走っており、その速さは
であった。 (1) 時刻
(
)から微小時間
の間に音源Sから発射された波の個数はいくらかを求めよ。 (2) 時刻
において、時刻
に発射された波面と音源Sとの間の距離を求めよ。ただし、加速度aは十分小さく、微小時間
の間に音源の速さは変化しないものとみなす。 (3) 音源Sから時刻
に発射された音を観測者Oが聞いた。このとき、観測者Oに聞こえる音の周波数を求めよ。 (4) 音源Sが観測者Oに到達する時刻を求めよ。
(5) 音源Sが距離D離れた点Pから観測者Oを通り過ぎるまでの間に音源Sから発射された音を、観測者Oが聞いた。このとき、観測者Oに聞こえる音の周波数の範囲を求めよ。
問3 音波は音源Sから観測者Oに伝わるまでに時間を要するので、観測者Oが時刻tに聞く音はそれより以前に音源Sから発射された音波である。いま、問2と同じく音源Sが一定の加速度a (
)で加速している場合を考える。時刻
における音源Sの速さは
，音源Sと観測者Oとの間の距離はDである。 (1) 時刻
に音源Sから発射された音が観測者Oに届くまでの時間を求めよ。 (2) この音波が観測者Oに届く時刻tは
に(1)で求めた時間を加えたものである。このことを利用して、
を、D，V，
，aおよびtを用いて書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。 (3) 時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音の周波数を、D，V，
，a，
およびtで書き表せ。ただし、時刻tには音源Sはまだ観測者Oを通り過ぎていないものとする。
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解答 問1はドップラー効果の公式を求める基本問題ですが、問3になると、細かい点で少々悩む部分があります。問題文をよくチェックするようにしましょう。
問1(1) 周波数
ということは1秒間に
個の波ができるので時間
の間に発射された波の個数は、
個 ......[答] (2) 音波は速さVで時間
進むので、時刻
に発射された波面は距離
進みます。音源は速さ
で時間
進むので距離
進みます。波面と音源との間の距離は、 
......[答](3) 観測者は(2)で求めた距離の中に(1)で求めた個数の波があるように観測します。音は(2)で求めた距離を速さVで進むので、音源を時間
の間に出た音が観測者に聞こえる時間は
です。観測者に聞こえる周波数を
として、観測者が観測する波の個数は、 ∴ 
......[答]
問2(1) 問1(1)と同様に、
個 ......[答] (2) 時刻
における音源の速さは、
問1と同様に、時刻
に発射された波面は距離
進みます。音源は速さ
で時間
に進むので距離
進みます。波面と音源との間の距離は、 
......[答](3) 音波は音源から発射されてしまえば音源の速度には影響されません。問1と問2を比べると、音波が発射されたときの音源の速さが、問1では
で、問2では
に入れ替わっています。従って、観測者に聞こえる音の周波数
は、(3)の結果で
として、 
......[答](4) 音源Sが観測者Oに到達する時刻を
とします。音源は、初速度0，加速度aの等加速度運動で時刻
から時刻
までに距離D進みます。 ∴ 
より、複号は＋の方を採ります。
∴ 
......[答] (5) 音源が観測者Oに到達したとき(
)の音源の速さ
は、 時刻t (音源の速さは
)に発射された音波を観測者が聞くとき、その周波数fは、問1(5)の結果の
をvに入れ替えて、
問3(1) 時刻
に音源は点Pから距離
の位置に来ています。 音源から発射された音が観測者に届くまでの時間
は、 
......[答](2) (1)の結果より、
これより、
∴ 
ここで複号をどちらにするか困りますが、「音源の速さは音速Vを超えない」という問題文の記述より、時刻
における音源の速さ
は音速Vより小さいので、 これより、
従って、複号は−を採り、
......[答](3) 時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音波は、時刻
に音源から発射されたものです。時刻
における音源の速さ
は、(2)の結果より、 時刻tにおいて観測者Oに聞こえる音の周波数
は、問1(5)の
を
に入れ替えて、 
......[答]
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