北大物理'10年後期[3]
次の文章の (1) から (8) に適切な数式を入れよ。また、 (a) ， (b) には、m，
，
，
の中から選んで記入せよ。
問1 図1のような装置はクインケ管と呼ばれ、Aから入った音は左と右に分かれて進み、再び出会って干渉しBで聞こえる。右側の管は可動で、その長さを連続的に変化させることができる。
Bでの音の強さは、音の波長を
，左と右の経路の差を
としたとき、整数mを用いて、
(a) のとき強めあって大きくなり、
(b) のとき打ち消しあって小さくなる。音の周波数が
のときに、図1のように右の管をゆっくりと引き出すと距離
ごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。このときの波長はXを用いて (1) 
と表され、音の速さは
(2) 
であることがわかる。次に、右の管を固定して音の周波数をゆっくりと変化させたところ、周波数が
変化するごとにBで聞こえる音の強さが小さくなった。音の速さvは周波数によらないとすると、このときの左と右の管の経路の差はf とvを用いて (3) 
と表される。
問2 同様の現象は、光を用いても確かめられる。図2で、Pは真空中での波長が
の単色光を取り出せる光源、Hは光の一部を透過し一部を反射する半透明鏡、
と
は光線に垂直に置かれた平面鏡である。光源Pからの光線はHで2つの方向に分けられた後、それぞれ
と
で反射され、再びHを経てQへと導かれ干渉する。装置全体は真空中に置かれ、Hと
の間には、内側の幅
の透明容器Cが置かれている。
最初、Qにおいて光が打ち消しあって暗い状態から
をゆっくりと右方向に
だけ平行移動させたところ、Qでの光は，明暗の周期を100回繰り返し暗い状態となった。このときの
の移動距離xは
を用いて (4) 
と表される。次に、容器Cをある気体でゆっくりと満たしたところ、容器内部の屈折率は1からnへと連続的に増加し、Qでの光は暗い状態からk回の明暗の周期を繰り返し、暗い状態となった。真空中の光の速さを
とすると、屈折率nの容器中を光がdだけ進むのに必要な時間は (5) 
なので、同じ時間内に真空中で光の進むことのできる距離は (6) 
である。このことから、容器を気体で満たしたことは、真空中での経路長が往復で (7) 
だけ伸びたことと同等であることがわかる。したがって、気体の屈折率nはkを用いて (8) と求めることができる。
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解答 音波の干渉に関する基本問題です。
問1(a) 左右から来る音波が強め合うのは、経路差
が波長
の整数倍になるときです。 ∴ 
......[答] (b) 弱め合うのは、経路差
が波長
の整数倍＋半波長になるときです。 ∴ 
......[答] (1) 経路差
のとき弱め合うので、 
･･･①右の管をX引き出すと、右側の経路は
長くなります。もともと右側がL長かったとすると、弱め合う条件は、 
･･･②②－①より、
......[答]
......[答](3) このときの経路差を
，音の周波数を
とします。波長は
です。弱め合う条件は、 
･･･③音の周波数が
になったときの波長は
です。弱め合う条件は、整数mが
になることに注意して、 
･･･④④×
－③×
より、 ∴ 
......[答]
問2(4) 
で反射する経路と
で反射する経路との経路差を
とすると、最初Qにおいて光が打ち消しあっているとき、 
･･･⑤
を右方向に
平行移動させると、経路差は
長くなります。この間に明暗の周期を100回繰り返すので、平行移動後に弱め合う条件は、
･･･⑥⑥－⑤より、
∴ 
......[答] (5) 真空中の光速を
とすると、屈折率nの媒質中の光速は
となります。距離
進むのに必要な時間は
......[答] (光の屈折を参照) (6) 同じ時間内に真空中で光の進むことのできる距離は、
......[答] (7) 容器を気体で満たしたことは、真空中での経路長が往復で、
......[答]伸びたことと同等です。
(8) 容器に気体を入れる前の弱め合う条件は、
･･･⑦容器に気体を入れている間に、経路差は
伸びて、k回明暗を繰り返すので、この後の弱め合う条件は、 
･･･⑧⑧－⑦より、
∴ 
......[答]
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