東北大物理'10年前期[3]

東北大物理'10年前期[3]

図1に示すような長さ

で両端の開いた管(開管)が、z軸上の回転軸に開管の中心が原点と一致するように固定されている。回転軸が矢印の方向に回ることにより、開管はx-y平面内でz軸の正方向から見て反時計回りに回転できる。開管内部には低周波発信器に接続された小型スピーカーが取り付けられている。低周波発信器から適切な振動数の正弦波を小型スピーカーに入力すると、開管内の気柱に両方の開口端が腹の位置となる定常波を作ることができる。定常波を音源とした音は、両方の開口端が出口となり周囲に伝わる。この音の波形は、x-y平面上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べることができる。
床や壁などは、音が通過および反射をしない材質でできているとして、以下の問いに答えよ。解答は、解答用紙の所定の場所に記入せよ。また、結果だけでなく考え方や計算の過程も記せ。

問(1) 図1のように、開管の中心軸をy軸と一致させて開管を静止させた。低周波発信器の振動数をゼロからゆっくりと増加させていくと、ある振動数になったとき開管内の気柱に基本振動の定常波ができ、開口端から音が響き始めた。この音をx軸上に置かれたマイクを通してオシロスコープで調べた。オシロスコープの時間軸1目盛りの間隔を

(

ミリ秒)にしたところ、図2で示すような波形を観測することができた。

(a) オシロスコープに表示された波形から、定常波の周期

の数値および振動数

の数値を求めよ。

(b) 音速が

であるとき、図2で観測した音の波長

の数値を、有効数字2桁で求めよ。

に対応する低周波発信器の振動数

の数値を求めよ。

(d) 低周波発信器の振動数をf に固定して、開管内の気柱に作られる定常波の波長を

とした。2つの開口端から出た音の干渉を調べるため、マイクを

の線上でy軸正方向に移動させた。マイクを通してオシロスコープで測定した振幅とマイクのy座標位置の関係を示す最も適切なグラフを、図3の(ア)～(カ)の中から1つ選べ。また、そのグラフを選んだ理由を記せ。なお、グラフを見やすくするために、○で示す測定値はなめらかな破線で結んである。

問(2) 次に、低周波発信器の振動数を問(1)(c)で求めたf に固定し、開管を角速度ω で回転させた。このとき、回転による開口端の速度は音速Vより十分に遅く、実験室内には風がない。また、開口端外からの音はないものとする。

(a) 開管の中心軸がy軸と重なるとき、2つの開口端はそれぞれ

と

の位置にある。このときの時刻を

とし、そのとき

にあった開口端の速度のx成分

とy成分

を、

，ω，t を用いて表せ。

(b) マイクを

の長さに比べると開管から十分に離れたx軸上の点に移動した。開口端速度のx方向成分

が周期的に変化するため、ドップラー効果により開口端から放出される音の波長もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測される音の波長の最小値と最大値を、

，ω，Vを用いて求めよ。

(c) 回転する2つの開口端からの音波には、ドップラー効果による振動数のわずかな違いがあるため、うなりが生ずる。振動数の違いは周期的に変わるので、うなりの回数もまた周期的に変化する。マイクの位置で観測されるうなりの単位時間あたりの回数の最大値を、

，ω，Vを用いて表せ。

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解答　その昔、1960年代から1970年代にかけて、多くのロック・バンドで使われていたレスリー・スピーカーがネタになっていて、当時、ハモンド・オルガンに酔っていたオールド・ロック・ファンがしびれてしまう問題です。
入試本番間近だというのに、レスリーが泣かせてくれる、ユーライア・ヒープの名曲「７月の朝」を聞きながら数学の難問を考えていた頃が懐かしいですね。

問(1)(a) 図2よりオシロスコープで観測された波形の周期は2ミリ秒です。

定常波の周期