京都大学2005年前期物理入試問題

京都大学2005年前期物理入試問題

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[1]　次の文を読んで、　　には適した式を、　　には適した数値を、それぞれ記せ。

図1のように、水平な地表面上に敷かれたレールを電車が一定の速さVで動いているとする。このレールは、点Qの手前で点Oを中心とした半径Rの円弧状であり、点Qの先では点Qで円弧に接する直線状となっている。レールの幅、電車の幅、長さ、高さはいずれも、Rに比べて非常に小さいとする。以下の(1)～(3)では電車は円弧状のレール上を動いているときについて、(4)では電車が直線状のレールを動いているときについて、車内での小物体の運動を考える。ここで、重力加速度の大きさをgとし、小物体の大きさと小物体に対する空気の抵抗はいずれも無視する。

(1) 電車が点Qの手前の円弧状のレール上を走っているとき、図2のように、電車の天井の点Sから、質量の無視できる長さdの糸でつるされた質量mの小物体は、車内の観測者から見て静止していた。なお、図2はこの電車を進行方向から見たところであり、図の左方向が中心Oの方向である。また、点Aは電車が動いていないときの小物体の静止位置である。このとき、車内の観測者には、車内の小物体に大きさ　ア　の遠心力が働いているように見えるので、糸が鉛直線SAとなす角度θ は

　イ　を満たす。また、糸の張力Tと重力

との比はθ のみを用いて、

　ウ　と表される。

(2) 小物体が車内の観測者から見て動いているときでも、その速さがVに比べてじゅうぶんに小さければ、短い間に電車の加速度運動が小物体へ及ぼす影響は、大きさ　ア　の遠心力のみに現れると近似的に考えることができる。以下、この近似を使って考えることにする。この場合、車内の観測者から見て小物体には常に重力と大きさ　ア　の遠心力の合力が働くので、あたかも重力加速度の方向と大きさが変化したように見える。この見かけの重力加速度の大きさを

とすると、

とgの比はθ のみを用いて表すことができて、

　エ　となる。

(3) 小物体を点Aから、車内の観測者から見て速さuで電車の進行方向に押し出した。この後、小物体は車内の観測者から見て円運動をした。この円運動の半径はdとθ を用いて表すと　オ　である。また、速さuはd，

，θ を用いて表すと

　カ　であり、円運動の周期はd，

，θ を用いて表すと　キ　となる。

(4) この小物体が(3)のように円運動をしていて、ちょうど点Aを通過したときに、電車は図1のレール上の点Qを通過し、直線状のレールに速さVのまま移った。この直線状のレール上を走っているとき、車内の観測者が見ると、図3のように、小物体は点Aを中心とする振動をした。この振動において、点Aから測った小物体の最高位置の高さhはuとgを用いて、

　ク　と表される。したがって、この振動において糸が鉛直線となす最大の角度をθとして、

　エ　と

　カ　の結果を使って、

を

のみを用いて表すと、

　ケ　となる。ここで、αもθ も小さいとして

および

と近似すると、

　コ　

となる。

[解答へ]

[2]　次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれ記せ。また、文中に挿入された問1についてはグラフを描け。

図1のように、水平に間隔lで平行に置かれた2本のじゅうぶんに長いレールの上に質量mの導体棒が乗っている。レールは導体でできており、その太さはlに比べてじゅうぶん小さいとする。2本のレールにはそれぞれ端子1a，1bが取り付けられている。導体棒は常にレールと直交し、レールと平行な方向にのみ滑らかに動くことができ、摩擦は無視できるものとする。導体棒の速度vは右向きを正とする。2本のレール間には、常に鉛直上向きに一様な磁束密度Bの磁界がかけられているとし、レールや導体棒を流れる電流によって生じる磁界は無視するものとする。導体棒上に示した→は、導体棒を流れる電流の正の向きを表す。以下では抵抗と明示したもの以外の電気抵抗は無視できるものとする。

(1) この系を、端子1a，1bをもつ回路素子と見たときのはたらきについて調べよう。まず、この回路素子に電流が流れる様子を微視的な視点から考察する。レール上に置かれた導体棒中に電荷qを持った1つの荷電粒子が一定の速度uで手前から奥に向かって移動する状況を仮想的に考える。ただし、導体棒の速度vはuに比べて無視できるものとする。このとき電荷は磁場からレールと平行右向きに　イ　の力を受ける。電荷が手前側のレールとの接点から出発してもう一方のレールとの接点に到達する間に、導体棒がこの荷電粒子を通じて受ける力積は　ロ　である。この答えからわかるように、導体棒が受ける力積は電荷の移動速度によらない。したがって、他の外力がはたらかない状況で、静止している導体棒が速度vまで加速されたならば、その間に導体棒を流れた電荷の総量は、

　ハ　

で与えられる。また、このとき導体棒が磁界中を運動していることによって生じる起電力、すなわち、端子1aに対する端子1bの電圧Vはvをもちいない表式で

と与えられる。

(2) 次に、図2に示した電気容量Cのコンデンサー、電気抵抗Rの抵抗、起電力がEの直流電源と2つのスイッチa，bからなる回路の端子2a，2bを、図1の端子1a，1bにそれぞれつないだ。各スイッチは最初、左側に倒されており、導体棒は静止していた。この状態から、時刻

においてスイッチaを右に倒し、直流電源側につないだところ、導体棒の速度vは図3に示すように、次第に増加し、一定値

　ホ　に近づいた。ここで図3中の

は、vが0から

になるのに要した時間である。導体棒の速度がvのとき、導体棒を流れる電流は、vを用いて　ヘ　と表される。

問1　右図に、このときの、直流電源の仕事率、抵抗における消費電力、および導体棒にはたらく力の仕事率の時間変化のグラフを、それぞれ実線(――)，破線(－－－)，点線(･･････)で描け。なお、横軸の目盛は図3と同じものを用い、縦軸の目盛りは、スイッチaを右に倒した直後の直流電源の仕事率が1となるように選べ。また、記号や式など、3つの曲線以外のものは記入しないこと。

(3) 今度は、スイッチbを右側に倒して回路をコンデンサー側につないだ場合を考える。前と同様に、スイッチaは左に倒しておき、導体棒は静止させておく。スイッチaを右に倒すと、導体棒は動き始め、じゅうぶん時間が経過した後に導体棒は等速運動をした。等速運動になった後にコンデンサーに蓄えられている電荷は　ト　，導体棒の速度は　チ　である。

(原問題文は「磁界」と「磁場」が両方とも出てきますが同じものを指すと考えてください)
[解答へ]

[3]　次の文を読んで、　　に適した式をそれぞれ記せ。文末の問1では指示された条件のグラフを、問2では{　　}から正しいものを選んでその番号を、問3では適切な文章を、それぞれ記せ。

図1のように、鉛直軸方向に滑らかに動く質量Mのピストン板と固定された底板からなるシリンダーの中に、誘電率がεの理想気体がnモル(mol)封入されている。両板はともに熱の伝導性がよいため、シリンダー内の気体は常に外気と同じ絶対温度Tに保たれるとする。また、両板はともに面積Aの円盤状の導体で、回路につないでスイッチSを閉じることにより、両板間に電圧Vをかけることができる。ただし、シリンダーの側面とハンドルは絶縁体でできているとする。ハンドルの質量とεの気体密度依存性は無視できるものとし、重力加速度をg，外気の圧力をP，気体定数をRとする。また、両極板間の距離をzとし、力や電界の向きに関しては、鉛直上向きを正の方向とする。

(1) まず、スイッチSが開いた状態で、ピストン板と底板はそれぞれQ，

(

)の電荷を帯びているものとする。これらの電荷は両板の互いに向かい合っている面のみに、それぞれ一様な面密度

，

で分布している。また両板の面積はともにじゅうぶんに大きいため、これらの電荷により両板間につくられる電界は、場所によらず一定の値　あ　である。このときピストン板は、底板上の電荷がつくる電界が及ぼす引力を受ける。　あ　が、ピストン板上の電荷がつくる電界と底板上の電荷がつくる電界との和であることを注意すると、ピストン板にはたらく静電気力が　い　であることがわかる。

(2) 次に、ピストン板を静止させたままスイッチSを閉じて、両極板間に一定の直流電圧Vをかけた。そして、ピストン板を手で支えながらゆっくり移動させ、両板間の体積が