京大物理'05年前期[2]
次の文を読んで、 に適した式をそれぞれ記せ。また、文中に挿入された問1についてはグラフを描け。
図1のように、水平に間隔lで平行に置かれた2本のじゅうぶんに長いレールの上に質量mの導体棒が乗っている。レールは導体でできており、その太さはlに比べてじゅうぶん小さいとする。2本のレールにはそれぞれ端子1a，1bが取り付けられている。導体棒は常にレールと直交し、レールと平行な方向にのみ滑らかに動くことができ、摩擦は無視できるものとする。導体棒の速度vは右向きを正とする。2本のレール間には、常に鉛直上向きに一様な磁束密度Bの磁界がかけられているとし、レールや導体棒を流れる電流によって生じる磁界は無視するものとする。導体棒上に示した→は、導体棒を流れる電流の正の向きを表す。以下では抵抗と明示したもの以外の電気抵抗は無視できるものとする。
(1) この系を、端子1a，1bをもつ回路素子と見たときのはたらきについて調べよう。まず、この回路素子に電流が流れる様子を微視的な視点から考察する。レール上に置かれた導体棒中に電荷qを持った1つの荷電粒子が一定の速度uで手前から奥に向かって移動する状況を仮想的に考える。ただし、導体棒の速度vはuに比べて無視できるものとする。このとき電荷は磁場からレールと平行右向きに イ の力を受ける。電荷が手前側のレールとの接点から出発してもう一方のレールとの接点に到達する間に、導体棒がこの荷電粒子を通じて受ける力積は ロ である。この答えからわかるように、導体棒が受ける力積は電荷の移動速度によらない。したがって、他の外力がはたらかない状況で、静止している導体棒が速度vまで加速されたならば、その間に導体棒を流れた電荷の総量は、
ハ 
で与えられる。また、このとき導体棒が磁界中を運動していることによって生じる起電力、すなわち、端子1aに対する端子1bの電圧Vはvを用いない表式で と与えられる。
(2) 次に、図2に示した電気容量Cのコンデンサー、電気抵抗Rの抵抗、起電力がEの直流電源と2つのスイッチa，bからなる回路の端子2a，2bを、図1の端子1a，1bにそれぞれつないだ。各スイッチは最初、左側に倒されており、導体棒は静止していた。この状態から、時刻
においてスイッチaを右に倒し、直流電源側につないだところ、導体棒の速度vは図3に示すように、次第に増加し、一定値
ホ に近づいた。ここで図3中の
は、vが0から
になるのに要した時間である。導体棒の速度がvのとき、導体棒を流れる電流は、vを用いて ヘ と表される。 問1 右図に、このときの、直流電源の仕事率、抵抗における消費電力、および導体棒にはたらく力の仕事率の時間変化のグラフを、それぞれ実線(――)，破線(－－－)，点線(･･････)で描け。なお、横軸の目盛は図3と同じものを用い、縦軸の目盛りは、スイッチaを右に倒した直後の直流電源の仕事率が1となるように選べ。また、記号や式など、3つの曲線以外のものは記入しないこと。
(3) 今度は、スイッチbを右側に倒して回路をコンデンサー側につないだ場合を考える。前と同様に、スイッチaは左に倒しておき、導体棒は静止させておく。スイッチaを右に倒すと、導体棒は動き始め、じゅうぶん時間が経過した後に導体棒は等速運動をした。等速運動になった後にコンデンサーに蓄えられている電荷は ト ，導体棒の速度は チ である。
(原問題文は「磁界」と「磁場」が両方とも出てきますが同じものを指すと考えてください)
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解答 (1)(イ) 電荷qが磁束密度Bの磁界中を速さuで移動するときに受ける力の大きさは、ローレンツ力の公式より、 (ロ) 電荷が手前のレールとの接点からもう一方のレールとの接点まで移動する時間は、距離lを速度uで進むので
......[答] (原問題文に、この力積の値が電荷の移動速度uに依存しないことに対して注意するように書かれています)(ハ) 導体棒が静止した状態から速度vになるまでに、導体棒を通過した電荷の総量をQとして、導体棒が受ける力積は
，一方、導体棒の運動量の変化は、 
･･･①∴ 
......[答](ニ) 電磁誘導の法則より、磁束密度Bの磁界中を長さlの導体棒が速さvで通過するときに、導体棒に発生する起電力の大きさ
は、 ①より、
･･･② ∴ 
フレミング右手の法則によれば、導体棒の移動方向(右手親指)が右向き、磁界の方向(右手人差し指)が鉛直上向きで、起電力の方向(右手中指)は、導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きです。レンツの法則によれば、導体棒を右に動かしているので、これを妨げる向き(左向き)に力が働くような向き、つまり導体棒に奥から手前に向かって電流を流す向きに起電力が生じます。
このとき、端子1aの方が1bよりも高電位になります。
「端子1aに対する端子1bの電圧」と問題文にあるときは、端子1bの方が端子1aよりも電位が高いときに正の電圧です。つまり
です。よって、 
......[答]
(2)(ヘ) 導体棒の速度がvだとして、導体棒には端子1aが高電位、1bが低電位になるような起電力
が発生します。回路全体での起電力は
， 
......[答] ･･･③(ホ) 
だとして、この電流には右向きの力が働くので、導体棒の速度vは増加します。 導体棒の速度が一定値
になるとき、導体棒には力が働かず、導体棒には電流が流れません。
のときに③を0として、 ∴ 
......[答] 問1 直流電源の仕事率
は、電源電圧がE，電流が
より、 抵抗の消費電力
は、 導体棒に働く力の仕事率
は、 
，
，
の間には
という関係があります。つまり、直流電源のする仕事は、抵抗で消費されるジュール熱と導体棒に対する仕事の和に等しくなります。
においては、
で、
(これが縦軸の目盛り1になる)，
，
図3において、
において、
になるところがあります。このとき、
，
，
よって、右図。実線(
)が直流電源の仕事率
，破線(
)が抵抗における消費電力
，点線(
)が導体棒に働く力の仕事率
です。
(3)(ト) コンデンサーが蓄えている電荷をQとして、充分時間が経過して導体棒が等速運動になったときの速さをvとすれば、回路全体の起電力は、②を用いて、 このとき、抵抗Rには電流が流れないので、この起電力は全てコンデンサー両端にかかります。コンデンサーが蓄える電荷Qは、
∴ 
......[答] (チ) ②に代入して、
......[答]
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