京大物理'12年[2]

京大物理'12年[2]

次の文章を読んで、　　に適した式を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じ式を表す。また、問1～問4については、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

同じ極板面積と極板間距離を持つ平行板コンデンサーAとBがあり、図1のように、電圧

の直流電源、抵抗値rの抵抗、および2つのスイッチ

，

からなる電気回路を構成している。両コンデンサーの極板は正方形で十分に広いとする。最初、コンデンサーAの極板間は、比誘電率

(

)で形状が直方体の誘電体(絶縁体)ですきまなく満たされており、コンデンサーBには何も挿入されていない。このとき、コンデンサーBの容量を

とすると、コンデンサーAの容量は

である。
両スイッチは図1のように開かれており、両コンデンサーに電荷は蓄えられていないとする。その状態から開始して、以下の操作(i)～(iv)の手順でコンデンサーBに蓄えられている電荷について考える。ただし、誘電体の移動に際して極板との摩擦は無視できるとする。

(i) スイッチ

を閉じ、十分に長い時間が経過してからこれを開く。

(ii) コンデンサーAの誘電体を抜き取り、コンデンサーBに挿入し極板間を満たす。

(iii) スイッチ

を十分に長い時間閉じておく。

(iv) スイッチ

を開いてから、コンデンサーBの誘電体を抜き取り、コンデンサーAに挿入し極板間を満たす。

操作(ii)で誘電体を抜き取るのに要するエネルギーは　イ　であり、その後のコンデンサーAの電圧は　ロ　となる。操作(iii)の後、コンデンサーBの電圧は　ハ　であり、コンデンサーBに蓄えられた電荷は　ニ　，両コンデンサーに蓄えられている静電エネルギーの和は　ホ　である。操作(iv)の後、コンデンサーBの電圧は　ヘ　となる。

問1　上記の操作(ii)と(iii)を逆の順序で行っても、(ii)の後に十分に長い時間が経過すれば、両コンデンサーの電圧と電荷量は元の手順での(iii)の後の値と等しくなる。逆の手順による電圧と電荷量の計算を行うことなく、その理由を簡潔に説明せよ。

以下では元の手順で考える。操作(iii)でスイッチ

を閉じると、抵抗に電流が流れ、両コンデンサー間で電荷が移動する。移動に要する時間を大まかに見積もろう。電流は時間とともに減少するが、これを平均的に一定電流Iが時間Tにわたって継続するとみなすと、電荷の移動量に着目して　ニ　

とおくことができる。

問2　電荷の移動により両コンデンサーが失う静電エネルギーと、時間Tの間に抵抗で生じるジュール熱とが等しいとしてTを求めよ。導出の過程も合わせて示せ。

操作(i)～(iv)を行った後、同じ手順を何度も繰り返すと、コンデンサーBの電荷量はやがてある一定値

に落ち着く。このとき、操作(i)～(iv)で電荷が移動しなくなる。

問3　

の値を求めよ。導出の仮定もあわせて示せ。

次に、コンデンサーBに誘電体が完全に挿入された状態で極板間電圧がVになるように充電されているとする。図2のように、コンデンサーBに抵抗値Rの抵抗を接続し、誘電体の挿入量を調整することにより、抵抗の電圧を短時間一定に保つ方法を考える。極板間で、誘電体が存在する部分と存在しない部分の体積比を

：xとすると、コンデンサーBの容量は　ト　となる。電圧がVのとき、抵抗に流れる電流により、微小時間

の間に、コンデンサーBの電荷は　チ　だけ減少する。一方、体積比を

：

に変更すると、それによる容量の減少量

は　リ　となる。

問4　電圧をVに保つように体積比を変化させるとき、変化率

を求めよ。また、電圧を一定値Vに保つことができる時間を求めよ。導出の仮定もあわせて示せ。

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解答　コンデンサーの基本問題ですが、ボリューム満点で、試験会場では、かなり急ぐ必要があります。

(イ) 誘電体が入っている状態でコンデンサーAの静電容量は

です(コンデンサーを参照)。

スイッチ

を閉じ、十分に長い時間が経過して充電完了後、コンデンサーAが蓄えている電荷は、

，静電エネルギーは、

スイッチ

を開いてから、コンデンサーAの誘電体を引き抜いても、コンデンサーAの電荷は変わりません。誘電体を引き抜いた後のコンデンサーAの極板間電圧

は、

誘電体を引き抜いた後のコンデンサーAの静電エネルギーは、

操作(ii)で誘電体を引き取るのに必要なエネルギーは、

......[答]

(ロ)

......[答]

(ハ) コンデンサーA(誘電体なし)とコンデンサーB(誘電体あり)の並列接続の合成容量は、

，操作(iii)の後のコンデンサーBの電圧

は、

......[答]

(ニ) コンデンサーBに蓄えられた電荷は、

......[答]

(ホ) 静電エネルギーの和

は、合成容量に蓄えられている静電エネルギーと考えて、

......[答]

(ヘ) 操作(iv)の後、コンデンサーBの静電容量は

になり、コンデンサーBの電圧は、

......[答]

問1　上記の操作(ii)と(iii)を逆の順に行っても、スイッチ

を閉じている間のコンデンサーAとBの合成容量は同じです。また、極板に蓄えられる電荷は(i)の操作で決まるので(ニ)と変わりません。電圧も変わりません。

操作(iii)でスイッチ

を閉じたとき、コンデンサーAからコンデンサーBに移動する電荷が

になります。(ニ)より、

これより、

となります。

問2　両コンデンサーの失う静電エネルギーは、

時間Tの間に抵抗で生じるジュール熱は、

両者を等しいとして、

∴

......[答]

問3　コンデンサーBの電荷量が一定値

に落ち着く、ということは、操作(iii)でスイッチ

を閉じる直前に、コンデンサーBの電荷量が

で、コンデンサーAとコンデンサーBの電圧が等しくなっている、ということです。

このとき、コンデンサーAの電圧は

，コンデンサーBの静電容量は

で電圧は、

，よって、

∴

......[答]

(ト) 誘電体のある部分もない部分も極板間距離は同じなので、誘電体のある部分とない部分の極板面積の比も

：xです。極板面積をSとして、

より、両者は並列接続されているのでコンデンサーBの合成容量Cは、

......[答]

(チ) 抵抗両端の電圧もVです。抵抗を流れる電流は、オームの法則より、

時間

でのコンデンサーBの電荷の減少分は、

です。

......[答]

(リ) (ト)の結果で

，

として、

∴

......[答]

問4　コンデンサーBの極板間電圧は一定値Vに保たれているので、電荷の変化量は

となります。これが、(チ)より

に等しいことから、

(リ)の結果を代入して、

∴

......[答]
これより、

は一定で、

のとき、

電圧を一定値Vに保つことができる時間は、

......[答]

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