京大物理'22年前期[2]

次の文章を読んで、に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、はすでにで与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

1のように、水平面に無限の長さのはしご型導体が固定されており、その上に接触しないように少し隙間を設けて、直方体状の長い棒磁石が、図に示したNSの向きで鉛直に配置されている。なお、棒磁石の奥行方向の幅は、はしご型導体の幅と等しくaである。
棒磁石を鉛直に保ったまま、図の右方向に水平に一定の速さ
vで動かしているときに、はしご型導体の各部分に生じる電流について考察する。なお、以下の議論では、はしご型導体のどの部分についても、その自己インダクタンスは無視できるものとし、棒磁石の磁化は変化しないものとする。

まず、棒磁石の端面の形状が、はしご型導体の格子のちょうど
1区画に一致する場合を考える。はしご型導体は、図2(a)のように、抵抗のみからなる左右に無限に続く回路網であると考えることができる。いま、棒磁石が一定の速さvPQを横切っているときを考える。なお、図の灰色の領域に生じている磁束密度Bは、紙面に垂直で、均一かつ一定であるとし、それ以外の領域の磁束密度は0とみなせるものとする。また、回路の各部分の抵抗値は、図中に示したで与えられるものとする。電流については、各図に示した矢印の向きを正とする。

(1) ここでは、無限に続く回路網を、図2(b)の回路に置き換えて考える。すなわち、図2(a)PQの左右両端の半無限部分が、それぞれ1つの抵抗値の抵抗に置き換えられているとする。図2(b)において、棒磁石がPQを横切っているとき、左の閉回路QPCDと、右の閉回路には、ともに同じ、大きさの誘導起電力が発生する。したがって、QからPに流れる電流はと求まる。電流が流れて抵抗において熱としてエネルギーが失われるから、棒磁石を一定の速さvで動かすには、単位時間当たりの仕事をしなくてはならない。なお、回路の電流を求めるとき、図2(c)のように、棒磁石が固定され、はしご型導体が速さvで左に動いていると考えても、結果は同じである。

(2) 次に、はしご型導体と等価とみなした図3(a)に示す無限の回路網について考える。ここで、図3(a)は図2(a)と同じ無限の回路網である。図3(b)は、図3(a)の回路網をPQで切り離した左側の部分である。一方で、この半無限回路網は、図3(a)の回路網を、KL,あるいはMNで切り離したものと考えることもできる。このことを利用すると、図3(b)に示す半無限回路網の合成抵抗値を求めることができる。また、その合成抵抗値によって、図3(a)の回路網のどの半無限部分でも、1つの抵抗に置き換えて考えることができる。

1 = 41のときには、図3(b)の半無限回路網の合成抵抗値(端点Pと端点Qの間の抵抗値)と同じになることを示せ。なお、説明のために、図を用いてよい。

以下、図4,図5,図6の回路網は、図2(a)と同じ無限の回路網である。ただし、(3)(4)(5)においては、= 41の場合に限って考えることとし、とおき、の起電力をEとおく。

(3) 4に示すQからPに流れる電流を、改めてREを用いて表すとである。また、(2)で述べたことを利用すれば、無限の回路網のあらゆる部分の電流を求めることができる。たとえば、KからLに流れる電流は、電流倍、MからNに流れる電流は、電流倍である。

(4) 5(a)のように、点Pと点Qに発光ダイオードを図に示した向きで接続する。この発光ダイオードの電流電圧特性は、図5(b)に示すように、順方向電圧がより小さいときは抵抗値が無限大、以上では抵抗値が0とみなせるものとする。なお、発光ダイオードを接続する導線は、抵抗やインダクタンスが無視でき、棒磁石のつくる磁束を横切らないものとする。
棒磁石を動かす速さvと発光ダイオードに流れる電流の関係を測定したところ、図5(c)のような関係が得られた。図5(c)に示したように、発光ダイオードに電流が流れるのは、速さがより大きいときであったが、その速さである。また、速さがより大きいとき、回路網の各部分の電流をREのうち必要なものを用いて表すと、QからPに流れる電流KからLに流れる電流,発光ダイオードを流れる電流はである。

(5) つぎに、棒磁石の端面の形状が、はしご型導体の格子のちょうど3区画に一致する場合を考える(ただし、発光ダイオードは接続していない)。図6は、一定の速さvで移動している棒磁石による均一な磁束密度Bの範囲が、長方形に一致していた位置から少し右に動いたときを表している。この場合、各部分を流れる電流は、(3)の結果を3つ重ね合わせることで容易に求めることができる。各部分の電流をREを用いて表すと、QからPに流れる電流KからLに流れる電流MからNに流れる電流である。

解答 はしご型回路網とコの字型回路の融合問題ですが、問題文中にヒントがあるとはいえ、ダイオードが絡み、ボリュームもあって難題です。(5)の意味が(3)の意味と異なるので、混乱しないように注意しましょう。

(1) 「棒磁石が固定され、はしご型導体が速さvで左に動いていると考えても、結果は同じである」というヒントから、フレミング右手の法則によりコの字型回路として考えます。上向き(人差し指の向き)の磁場中を導体棒が左向き(親指の向き)に動くと考えると起電力の向き(中指の向き)QPの向きで、起電力の大きさは、コの字型回路の公式より、 ......[]

起電力につながる抵抗は、CD間、間の抵抗の並列接続の合成抵抗はより,これととの直列接続の合成抵抗が,よって、QからPに流れる電流は、オームの法則により、
......[]
抵抗で発生するジュール熱は、単位時間当たり、
......[]

(2) 2(b)のように、PQの左半分の半無限部分を1つの抵抗で置き換えて考えるのと同様に、図3(a)KLから左側の半無限部分をで置き換えて考えると、右図の右側の図でPQ間に接続されている抵抗はに等しくなります。KL間のの並列接続の合成抵抗は、より、,これと2個のとの直列接続の合成抵抗は、
これがに等しく、
 ∴  ・・・@

1 @でとして、
 ∴
注.説明のために図を付ける場合は、右上図でとした図を付けます。

以後、とします。
(3) []で見たように、であって、合成抵抗は2個のの並列との直列としてより、電流は、 ......[]
4において、Pで左右に分かれてになり、K(KLの左側の無限回路網を)に分かれてずつになり、倍になります。  ......[]
さらに、KからMに行くと、Kと同様にずつ分かれて、倍になります。  ......[]

(4) (3)[]で見たように、PQ間の電圧即ち抵抗(2個のの並列)両端の電圧は、
速さがのとき,そのときのPQ間の電圧がのときに発光ダイオードに電流が流れるので、
 ∴ ......[]
PQ間の抵抗Rにかかる電圧はQからPに流れる電流は、 ......[]
5(b)を見ると、発光ダイオードに電流が流れると、PQ間の電圧はで一定になります。前述のようにPQ間には発光ダイオード以外に等価的に抵抗2個並列に接続されておりそれぞれに電流が流れ、抵抗に電圧降下を生じます。抵抗PQ側それぞれに1個ずつあるので、ここでの電圧降下はKL間の電圧はです。オームの法則よりKL間の抵抗Rに流れる電流は、 ......[]
Q
からPに流れる電流のうち、K側にKと反対側にが流れるので、発光ダイオードに流れる電流は、残りの
......[]

(5) 問題文のヒント通りに(3)の結果を3つ重ね合わせて考えます。PQ間に生じる起電力による電流は、(3)の結果より、PQ間にKL間にMN間にKL間に生じる起電力による電流は、KL間に(LからKに向かう向き)MN間にPQ間に(PからQに向かう向き)間に生じる起電力による電流は、PQ間にKL間にMN間に(3)と同様に考えて
PからQに流れる電流は、 ......[]
K
からLに流れる電流は、 ......[]
M
からNに流れる電流は、 ......[]



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