京都大学2025年前期物理入試問題

京都大学2025年前期物理入試問題

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[1]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、{　　}からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπ，重力加速度を

とする。

(1) 図1(a)のような自然長Lで質量が無視できるばねの一端に、質量Mで大きさが無視できる小球を取り付けた。このばねのばね定数はkである。一体となったばねと小球を、なめらかな水平平面上に置き、小球が付いていない方のばねの端を、水平平面上の点Oに固定した。ばねは点Oのまわりを自由に回転できる。

水平平面上で、小球を点Oのまわりで、ある一定の角速度ω(

)で等速円運動させたとき、ばねは伸びて、図1(b)のように点Oから小球までの距離がRであった。ばねの復元力により小球には点Oの方向へ大きさ　ア　の力がかかっている。また小球には点Oから遠ざかる方向へ大きさ　イ　の遠心力がかかっている。反対の方向へ働くこれらの力の大きさは、いずれも点Oから小球までの距離に依存する。すなわち、角速度がωの場合に、両者の大きさが等しくなる点Oから小球までの距離がRであり、それはk，M，L，ωを用いて　ウ　と表される。

問1　図1(b)の小球が行う等速円運動を行うための条件を導出し、角速度ω(

)の範囲で示せ。

(2) 図2(a)のように、質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さaのひもの一端を、なめらかな水平平面上の点Oに固定した。また、このひものもう一方の端に、質量Mで大きさが無視できる小球1を取り付けた。小球1にはさらに、質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さbのひもの一端を取り付け、そのひもの他端には質量mで大きさが無視できる小球2を取り付けた。

はじめ、2つの小球と2本のひもは、一直線上に連結されたまま、なめらかな水平平面上で、点Oを中心とする角速度ωの等速円運動をしていた。図2(b)中に示す通り、点Oを座標原点とし、水平平面上のある方向にx軸を、それと垂直な方向にy軸をとる。回転している小球2の座標が

のとき(図2(b))、長さaのひもが切れた。切れた瞬間の時刻を

とする。なお切れた後のひもは、その後の2つの小球の運動には影響を与えないものとする。
長さbのひもで連結された2つの小球の運動に注目する。ひもが切れた直後の2つの小球の重心の位置は

= (　エ　，　オ　)である。このとき重心から見た小球1の相対速度の大きさは　カ　であり、その向きは{キ：①x軸正の方向，②x軸負の方向，③y軸正の方向，④y軸負の方向}である。重心から見た小球2の相対速度の大きさや向きも、小球1のそれらと同様に求めることができる。小球1と小球2を連結する長さbのひもにかかっている張力は　ク　であり、2つの小球は重心まわりを角速度　ケ　で回転する。また、重心の運動は2つの小球の質量が重心に集中したものとして考えることができる。重心にかかる加速度の大きさは　コ　であることから、重心は{サ：①円運動，②直線運動，③単振動}することがわかる。

(3) 図3(a)のような、質量が無視できる2本の変形しない細い棒と、大きさが無視できる2つの小球が連結された物体Aを作製した。まず長さ

の細い棒の一端に質量

の小球1を接着した。小球1にはさらに、長さaの細い棒の一端を固定し、さらにその細い棒の他端には質量mの小球2を固定した。長さ

の細い棒と長さaの細い棒は、それぞれの軸の延長線が完全に一致している。

水平な地面からある高さの位置に、地面に平行に設置されたまっすぐで細い鉄棒がある。さきに作製した物体Aを構成する細い棒の、いずれの小球とも接続されていない一端を、この鉄棒に垂直に取り付けた。図3(b)は、物体Aを取り付けた点を含む鉄棒に垂直な平面を、鉄棒の軸方向から見た図である。連結された物体Aは、鉄棒に垂直なこの平面内で、鉄棒のまわりを自由に回転できる。

はじめ、物体Aが図4(a)のように地面と平行となるように保持されている。座標原点Oを鉄棒の位置にとり、そこから小球2の方向をx軸正の方向、鉛直上方をy軸正の方向とする。また図4(a)中に示す通り、x軸からの回転角をθ(反時計回りを正、単位をラジアン)で表す。ただし

とし、たとえばy軸正の方向は

で表される。
物体Aが

の位置にあるとき、鉛直上方へ向かう初速度を小球2に与えた。小球2の初速度を

とすると、このとき物体Aのもつ運動エネルギーは　シ　と書ける。また、

を位置エネルギーの基準高さとすると、初速度を与えられたのち、物体Aが回転して回転角がθとなったときに、物体Aがもつ位置エネルギーは　ス　と書ける。

以下では

として、

を用いずに解答せよ。

物体Aが初めて

の位置に到達する直前には、物体Aは図4(a)の方向から見たとき{セ：①時計回り，②反時計回り}に回転している。
物体Aが

の位置に到達したとき、その回転の角速度の大きさは　ソ　である。このとき、接着してあった長さ

の細い棒と小球1の連結部が一瞬で外れた。連結が外れた瞬間の時刻を

とする。長さaの細い棒で連結された2つの小球の、

での運動を考える。

で初めて小球2が小球1の鉛直下方に到達したとき、ちょうど小球2が地面に接した(図4(b))。よって、地面を基準として、鉄棒の高さは　タ　であると求められる。

[解答へ]

[2]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、{　　}からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1～問3では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπとし、以下に登場する物質や気体の透磁率はすべてμとする。

(1) 図1のように、長さd，半径rの円筒に抵抗の無視できる導線を一様にN回巻き付けて作ったソレノイド(以下コイルと呼ぶ)がある。円筒内部は気体で満たされており、コイルの長さdはrと比べて十分長く、このコイルに電流を流すと円筒内部には一様な磁束密度ができる。このコイルに外部電源を接続して電流Iを流したときに円筒内部に発生する磁束密度の大きさは　イ　である。

次に、微小時間

の間に電流をIから

にゆっくり変化させると、コイルには誘導起電力　ロ　×

が発生する(

は微小量であり、起電力の符号は電流の上流側の電位が高い場合を正とする)。このことから、このコイルの自己インダクタンスは　ハ　である。また、時間

の間に外部電源がコイルにした仕事は　ニ　×

である。
図1のコイルに電流Iが流れているとき、コイルにはエネルギー　ホ　が蓄えられている。コイルを流れる電流がIから

に変化する際のこのエネルギーの増加は、

を満たす十分小さな

に対して成立する近似式

　･･･(i)

を使うと　ニ　×

となり、外部電源がコイルにした仕事と一致する。つまり、外部電源が行った仕事がコイルのエネルギーとして蓄積される。

(2) 図2のように、バルーンアート用の風船のような細長い円筒形状をした伸縮自在の閉じた膜に、伸縮自在で抵抗の無視できる導線を巻き数密度(円筒軸方向の単位長さ当たりの導線の本数)が一様となるようにN回巻き付けて作ったソレノイド(以下コイルと呼ぶ)がある。膜内部の気体の量は調整でき、このとき膜は円筒形状を保ったまま半径や長さが変わる。導線は膜に接着されており、膜の半径や長さが変化するとき導線は膜に接したままむらなく伸び縮みし、巻き数密度は一様に保たれるものとする。また、膜は厚みの無視できる絶縁体でできており、膜と導線は容易に伸縮するものとし、膜の面積、導線の長さおよび形状の変化に要する仕事は十分小さく無視できるものとする。

なお、以下では必要に応じて近似式(i)を使って

を無視し、解答欄には

を使わずに解答を記入せよ。

まず、コイルの両端を固定装置で固定して動かないようにし、膜の長さがdに保たれるようにした。この状態でコイルに電流Iを流し、膜内部の気体の量を調整して、図2のようにコイルの半径がrとなる状態を作った。このとき、コイル内部には一様な磁束密度　イ　が発生した。この状態から、電流Iを一定に保ったまま膜内部の気体の量をゆっくり増加させたところ、コイルの半径は速さvで大きくなり、微小時間

ののちに

になった。このとき、コイル一巻きを貫く磁束は

の間に

= 　ヘ　×

だけ増加するので、コイルには誘導起電力　ト　が発生する(起電力の符号は電流の上流側の電位が高いときを正とする)。また、時間

の間に外部電源がコイルに対して行う仕事は　チ　×

である。
一方、コイルに蓄えられるエネルギー(　ホ　)は、コイル半径が大きくなったことにより時間

の間に　リ　×

だけ増加する。このエネルギーの変化は、外部電源が行った仕事　チ　と、膜内外の気体の圧力差が膜に対して行った仕事の和に等しい。時間

の間にコイルの体積は　ヌ　×

だけ増加するので、膜内外の圧力差を

= (外部の気体の圧力)－(内部の気体の圧力)

とすると、膜内外の気体の圧力差が時間

の間にに膜に対して行う仕事は

を使って　ル　×

と書ける。以上のことから膜内外の気体の圧力差

を求めることができ、μと　イ　で求めたコイル内部の磁束密度Bのみを用いて表すと

= 　ヲ　と書ける。
いま、膜には膜内外の気体がもたらす圧力差に加え、電流Iが作り出す圧力が働いている。これらの圧力がつり合いの条件を満たすことから、電流Iが作り出す圧力は、{ワ：①コイルを膨らませる方向に働いている，②コイルを収縮させる方向に働いている，③働いていない}。

(3) コイルを図2の状態に戻してから、コイルの半径をrに固定したうえでコイルの円筒軸方向の長さを自由に変化させられるようにした。コイルの円筒軸方向長さがdの状態から、電流Iを一定に保ったまま膜の内部の気体量を変化させたところ、円筒軸方向の長さが速さvでゆっくりと大きくなり、微小時間

ののちに

になった。このとき、

を満たす十分小さな

に対して成り立つ近似式

　･･･(ii)

を使って

の2次以上の項を無視すると、微小時間

の間に外部電源がコイルに対して行う仕事は　カ　×

であることが分かる。このとき問1～問3に答えよ。

問1　膜内外の気体の圧力差を

= (外部の気体の圧力)－(内部の気体の圧力)

とするとき、

を求めよ。ただし、近似式(ii)を使って

の2次以上の項を無視し、解答にはμと　イ　で求めたコイル内部の磁束密度Bのみを用いよ。

問2　電流Iがコイルの両端面に作り出す圧力の向きについて、適切なものを以下から選んで番号を解答欄に記入せよ。

①　コイルが円筒軸方向に伸びようとする圧力が働いている。

②　コイルが円筒軸方向に縮もうとする圧力が働いている。

③　圧力は働いていない。

問3　問2の結果を、コイルを形成する各一巻きの導線を流れる電流が相互に及ぼす力について簡潔に説明せよ。

[解答へ]

[3]　次の文章を読んで、　　に適した式または数値を、{　　}からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、　　はすでに　　で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) 1モルの単原子分子理想気体の状態変化について考える。絶対温度Tにおけるこの気体の内部エネルギーは、Rを気体定数とすると

である。また、ゆっくりとした断熱変化では、この気体の圧力Pと体積Vの間にはポアソンの式

= 一定が成り立つ。以下、重力加速度の大きさを

とする。

図1(a)に示すように、この理想気体を断面積がSの円筒状の容器に入れ、蓋で封じる。蓋は断熱性であり、気密性を失わずに鉛直方向に滑らかに動くことができる。容器は透熱性と断熱性に切り替えることができ、はじめ透熱性である。また、容器は十分に深く蓋が外れることはない。蓋にかかる重力による圧力と大気圧とを合わせた圧力を

とする。

と理想気体の圧力が釣り合い、蓋は静止している。容器は透熱性のため外部と熱のやり取りが十分速く行われ、理想気体の温度は周囲の大気と同じである。この状態を始状態と呼ぶ。

始状態において蓋に質量MのおもりOを静かに載せ、ゆっくりと気体を圧縮すると、気体の圧力と体積がそれぞれ

，

で蓋は静止した。この状態を状態Xとする(図1(b))。

= 　あ　である。
次に、状態Xにある容器を断熱性に切り替え、外界との熱の出入りができないようにした。(図1(c))。また、おもりOはN個の等価な小さなおもりcからなり、おもりcを1個ずつ取り除くことで気体にかかる圧力を変えることができる。ここで、Nは十分大きな正の整数で、おもりcを1個取り除くことによる外部から気体にかかる圧力の変化量は小さく、また気体の膨張による体積変化量も小さい。以下の操作αを繰り返し、おもりcを1個ずつ取り除いていく。

操作α：おもりcを1個素早く取り除き、蓋が静止するまで膨張させる

操作αをk回繰り返した後の理想気体の圧力と体積をそれぞれ

，

とする。ここで、kは0～Nの整数であり、

は状態Xに対応している。

を用いると

= 　い　である。操作αをk回行った後にさらに操作αを1回行う。このとき気体がする仕事は、Nが十分に大きいので、

と近似できる。また、内部エネルギー変化は、

，

を用いると、　う　と表される。これらを用いることで、

= 　え　 ×

の関係式を得る。操作ごとの圧力変化と体積変化をそれぞれ

，

とおくと

＋　お　 ×

= 0

の関係式が得られる。Nが大きくなると

と

は0に近づくので、操作αの繰り返しは、気体の圧力と体積が連続的に変化するものとみなすことができ、ポアソンの式が得られる。
状態Xから操作αをN回繰り返すと、全てのおもりcが取り除かれる。図1(c)の状態から開始して、断熱的におもりcをN個取り除いた場合の最終的な気体の圧力と体積を

，

とする。一方、図1(b)の状態から開始して、等温的におもりcをN個取り除いた場合の最終的な気体の圧力と体積は

，

であるとする。

と

を比較すると{か：①

，②

，③

}である。

問1　{か}の大小関係について、理想気体の膨張による仕事と内部エネルギー変化をもとに説明せよ。

(2) 単原子分子理想気体とは異なる状態方程式や内部エネルギーの式に従う気体Fの状態変化について考える。ただし、この気体Fは考えている温度や圧力の範囲で気体として振る舞う。また、熱力学第一法則に従い、理想気体と同様に加熱すると圧力が上昇し、気体がする仕事は理想気体と同様に表される。この気体の圧力、体積、内部エネルギーをそれぞれP，V，Uとすると、気体Fについて

であることがわかっている。