京大物理'25年前期[1]
次の文章を読んで、 に適した式または数値を、{ }からは適切なものを一つ選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。ただし、円周率をπ，重力加速度を
とする。
(1) 図1(a)のような自然長Lで質量が無視できるばねの一端に、質量Mで大きさが無視できる小球を取り付けた。このばねのばね定数はkである。一体となったばねと小球を、なめらかな水平平面上に置き、小球が付いていない方のばねの端を、水平平面上の点Oに固定した。ばねは点Oのまわりを自由に回転できる。水平平面上で、小球を点Oのまわりで、ある一定の角速度ω(
)で等速円運動させたとき、ばねは伸びて、図1(b)のように点Oから小球までの距離がRであった。ばねの復元力により小球には点Oの方向へ大きさ ア の力がかかっている。また小球には点Oから遠ざかる方向へ大きさ イ の遠心力がかかっている。反対の方向へ働くこれらの力の大きさは、いずれも点Oから小球までの距離に依存する。すなわち、角速度がωの場合に、両者の大きさが等しくなる点Oから小球までの距離がRであり、それはk，M，L，ωを用いて ウ と表される。
問1 図1(b)の小球が行う等速円運動を行うための条件を導出し、角速度ω(
)の範囲で示せ。
(2) 図2(a)のように、質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さaのひもの一端を、なめらかな水平平面上の点Oに固定した。また、このひものもう一方の端に、質量Mで大きさが無視できる小球1を取り付けた。小球1にはさらに、質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さbのひもの一端を取り付け、そのひもの他端には質量mで大きさが無視できる小球2を取り付けた。はじめ、2つの小球と2本のひもは、一直線上に連結されたまま、なめらかな水平平面上で、点Oを中心とする角速度ωの等速円運動をしていた。図2(b)中に示す通り、点Oを座標原点とし、水平平面上のある方向にx軸を、それと垂直な方向にy軸をとる。回転している小球2の座標が
のとき(図2(b))、長さaのひもが切れた。切れた瞬間の時刻を
とする。なお切れた後のひもは、その後の2つの小球の運動には影響を与えないものとする。
長さbのひもで連結された2つの小球の運動に注目する。ひもが切れた直後の2つの小球の重心の位置は
= ( エ ， オ )である。このとき重心から見た小球1の相対速度の大きさは カ であり、その向きは{キ：①x軸正の方向，②x軸負の方向，③y軸正の方向，④y軸負の方向}である。重心から見た小球2の相対速度の大きさや向きも、小球1のそれらと同様に求めることができる。小球1と小球2を連結する長さbのひもにかかっている張力は ク であり、2つの小球は重心まわりを角速度 ケ で回転する。また、重心の運動は2つの小球の質量が重心に集中したものとして考えることができる。重心にかかる加速度の大きさは コ であることから、重心は{サ：①円運動，②直線運動，③単振動}することがわかる。
(3) 図3(a)のような、質量が無視できる2本の変形しない細い棒と、大きさが無視できる2つの小球が連結された物体Aを作製した。まず長さ
の細い棒の一端に質量
の小球1を接着した。小球1にはさらに、長さaの細い棒の一端を固定し、さらにその細い棒の他端には質量mの小球2を固定した。長さ
の細い棒と長さaの細い棒は、それぞれの軸の延長線が完全に一致している。
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解答 鉄アレイを持って腕をぐるぐる回して鉄アレイを放り投げ、鉄アレイを回転運動させるとどうなるか、という問題です。難問に見えますが、誘導に沿って考えれば大したことはありません。
(1) ばねの長さがRのとき、ばねの自然長からの伸びは
です。小球には点Oの方向へ大きさ
の弾性力がかかっています。
......[ア] 小球にかかっている遠心力の大きさは、
......[イ]弾性力と遠心力の大きさが等しくなる(力のつり合いを参照)とき、
問1 
より、
，つまり[ウ]より、
であればよく、
∴ 
(2) 2つの小球の重心のx座標は、
......[エ] ひもが切れた直後、小球1も小球2もx軸上に位置するので、重心のy座標は、
......[オ]このとき、半径aの円運動を行う小球1の速度は
，半径
の円運動を行う小球2の速度は
(等速円運動を参照)です。
重心の速度は
重心から見た小球1の相対速度は、 相対速度の大きさは、
......[カ]相対速度は負なので、その向きはy軸負方向です。④ ......[キ]同様に、重心から見た小球2の相対速度は、 
(正なので向きはy軸正方向です)ひもが切れた後、重心から見た小球1と小球2の速度の向きが正反対になることから、小球1と小球2は重心の回りに円運動します。
長さbのひもにかかっている張力をTとして、重心と小球1の距離は
なので、重心から見た小球1の運動方程式は、 
･･･①重心と小球2の距離は
なので、重心から見た小球2の運動方程式は、 
･･･②①，②を見ると、張力Tについて同じ結果を与えるので、小球1と小球2は重心の回りで同じ角速度ωで円運動することがわかります。長さbのひもにかかっている張力は、
......[ク]，2つの小球の角速度は、ω ...[ケ]重心にかかる外力は存在しないので、重心にかかる加速度の大きさは、0 ......[コ]よって、重心は等速直線運動をします。② ......[サ] (力のつり合いを参照)
(3) 鉄棒から小球1，小球2までの距離は
，
なので、
において、棒につながれた小球2がy方向に
動くと、小球1はy方向に
動きます。 小球2に初速度
を与えると、小球1の初速度は
になります。小球1と小球2を合わせた物体Aの運動エネルギーは、 
......[シ]物体Aが回転して回転角がθとなったとき、小球1の
の位置からの高さは
，小球2の
の位置からの高さは
です。
を位置エネルギーの基準高さとすると、回転角がθとなったときに物体Aがもつ位置エネルギーは、 
......[ス]以下では、
です。
のときの運動エネルギーは[シ]より
･･･③[ス]より
のときの物体Aの位置エネルギーは、
です。
なので、
で物体Aに初速度を与えた後、物体Aは
の位置に到達します(不等速円運動を参照)。つまり、物体Aが初めて
の位置に到達したとき、物体Aは
の位置を通過してから、鉄棒Oの真下に、左側から進入してきます。つまり、図4(a)の方向から見たときに、物体Aは反時計回りに回転しています。② ......[セ]物体Aが
の位置に到達したときの物体Aの回転の角速度を
とすると、このときの小球1の速さは
，小球2の速さは
です。このときの物体Aの運動エネルギーは
，[ス]によると
のときの物体Aの位置エネルギーは
③より、
のときと
のときとの力学的エネルギー保存より、 ∴ 
∴ 
......[ソ]連結が外れてから、地面に接するまでの物体Aの落下距離を求めたいわけですが、落下に要した時間を知る必要があります。問題文に「
で初めて小球2が小球1の鉛直下方に到達したとき、ちょうど小球2が地面に接した」と書かれているのですが、連結が外れたとき、物体Aは小球2が小球1の鉛直下方にあるので、小球2が地面に接するまでに物体Aはちょうど1回転していることがわかります。回転の角速度は[ソ]より
なので、落下に要した時間は
です。連結外れたときと地面に接したときとで物体Aは同じ姿勢なので、物体Aが落下した距離は、等加速度運動の公式より、
です。物体Aの長さが
なので、地面を基準として鉄棒の高さは、
......[タ]
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はじめ、物体Aが図4(a)のように地面と平行となるように保持されている。座標原点Oを鉄棒の位置にとり、そこから小球2の方向をx軸正の方向、鉛直上方をy軸正の方向とする。また図4(a)中に示す通り、x軸からの回転角をθ(反時計回りを正、単位をラジアン)で表す。ただし
とし、たとえばy軸正の方向は
で表される。
の位置にあるとき、鉛直上方へ向かう初速度を小球2に与えた。小球2の初速度を
とすると、このとき物体Aのもつ運動エネルギーは シ と書ける。また、
を位置エネルギーの基準高さとすると、初速度を与えられたのち、物体Aが回転して回転角がθとなったときに、物体Aがもつ位置エネルギーは ス と書ける。
として、
を用いずに解答せよ。
の位置に到達する直前には、物体Aは図4(a)の方向から見たとき{セ：①時計回り，②反時計回り}に回転している。
の位置に到達したとき、その回転の角速度の大きさは ソ である。このとき、接着してあった長さ
の細い棒と小球1の連結部が一瞬で外れた。連結が外れた瞬間の時刻を
とする。長さaの細い棒で連結された2つの小球の、
での運動を考える。
で初めて小球2が小球1の鉛直下方に到達したとき、ちょうど小球2が地面に接した(図4(b))。よって、地面を基準として、鉄棒の高さは タ であると求められる。
，
∴ 
......[ウ]
