不等速円運動


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半径rの円周上を運動する物体に働く力が、円の中心を向いていない場合は等速円運動をしません。このときの運動を、このサイトでは、不等速円運動と呼ぶことにします(正規の用語ではありません)。
このときは、物体の速さvも角速度ω も一定値にはなりません。

円の中心を原点にとって、x軸方向からの回転角をθ とします。物体の位置は、半径rを定数として、
，
物体の速度は、
，

よって、物体の速度は接線方向を向いています。と書く(ω は定数ではありません)と、となります。
等速円運動の公式：は、各瞬間において、不等速円運動であっても成立します。
物体の加速度は、
，

　
これより、加速度の動径方向(法線方向)成分は，接線方向成分はです。
不等速円運動の運動方程式では、接線方向も考える必要があります。法線方向に働く力(向心方向を正とします)を，接線方向に働く力をといて、運動方程式は、
法線方向について、()
接線方向について、
法線方向の運動方程式は、等速円運動の場合と同じです。接線方向の運動方程式は一般的には解けないので、これに代わるものを考えます。
入試問題では、摩擦などを無視して力学的エネルギー保存則が成立する状況で問題を考える場合がほとんどです。このときには、
不等速円運動の問題は、法線方向の運動方程式(等速円運動と同じ)と力学的エネルギー保存則を連立

することによって、解きます。大学入試では頻出なので覚えておいてください。
摩擦を考える場合でも、摩擦力のする仕事を考えてエネルギーの式を立てれば、解決できるようになっているはずです。

[例1]　長さrの軽く堅い棒の一端に質量mのおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。最高点を通過するための、最下点における速さに関する条件を求めます。重力加速度はとします。
最高点での速さをvとして、最下点と最高点での力学的エネルギー保存より、
最高点を通過する条件は、
∴

[例2]　長さrの軽い糸の一端に質量mのおもりをつけ他端を中心に、鉛直面内で回転させます。糸がたるむことなく最高点を通過するための、最下点における速さに関する条件を求めます。重力加速度はとします。
糸の場合には、たるんでしまうことがあるので、[例1]の力学的エネルギー保存に付け加えて、糸の張力Tも考える必要があります。
力学的エネルギー保存は例1と同じく、 ･･･①
最高点における糸の張力をTとして、最高点での運動方程式は、 ･･･②
①より、
②に代入すると、
最高点でも糸がたるまない条件は、 (覚えておくこと)
∴


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