等速円運動 関連問題
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質量mの物体が半径rの円周上を一定の速さvで周回運動するとき、この運動を等速円運動と言う。
円の中心から物体に向かうベクトル(動径ベクトルと言う)が、単位時間(1秒)あたりに通過する部分にできる扇形の中心角を角速度と言う。
等速円運動は、角速度一定の運動と言うこともできる。
等速円運動する物体の角速度をω ，加速度の大きさをaとすると、
が成立する。
等速円運動する物体には、つねに中心に向かう一定の大きさの力が働く。この力を向心力と言う。この力の大きさをFとすると、等速円運動する物体の運動方程式(法線方向)は、
のaに、
または、
を代入して、
 ，または、 |
単位時間(1秒)に円周を何周するかを数えた回数を回転数という。回転数nは、
解説 円の中心を原点とするxy平面上で物体が等速円運動しているとします。
動径ベクトルがx軸から反時計回りに角θ のところにあるとします。時刻
に動径ベクトルがx軸となす角をδ として、
です。
物体の座標を
として、
，
･･･①
物体の速度を
として、
，
･･･②
物体の加速度を
として、
，
･･･③
①と③を見比べると、
これより、等速円運動している物体の加速度は、動径ベクトル
と逆向きで物体の位置から円の中心を向いていることがわかります。
加速度の大きさ
は、
･･･④
また、速さ
は、②より、
･･･⑤
∴ 
つまり、等速円運動する物体の速度は動径ベクトルと垂直で、円の接線の方向を向きます。
④，⑤より、ω を消去すると、
等速円運動する物体に働く力
は、運動方程式より、
となり、物体の位置から円の中心に向かう方向です。中心に向かう力なので向心力と言います。運動方程式を円の接線方向と法線方向に分けると、接線方向には速さ一定で力も働かず、加速度成分も0ですが、法線方向については、
という式が成立します。「向心力の大きさは
に等しい」ということになります。
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