立体角
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(この項目は面積分、座標系を参照してください)
点Oを中心とする半径rの球面
の一部Pの面積を
で割ったもの、つまり、P上の各点と、Oを中心とする半径1の球面との交点が作る図形の面積を、Pの立体角と言います。
半径rの球面の面積は
なので、球面全てで立体角は
になります。
球面以外の凸な閉曲面についても、閉曲面で囲まれた部分に1点Oをとり、閉曲面上の一部分Pの各点とOを結び、Oを中心とする半径1の球面との交点が作る図形の面積をPの立体角とします。
原点Oを取り囲む凸な閉曲面Uを考えます。閉曲面U上の面積素片を
とします。つまり、微小面積dSを取り、大きさがdSで、この微小面積部分に垂直で原点から遠ざかる方向を向くベクトル
を考えます。
原点Oから、この微小面積部分に向かうベクトル
と
とのなす角をθ とすると、微小面積部分の位置で半径
の球面Kに接する平面と、この微小面積部分とのなす角もθ です。
つまり、微小面積部分の球面Kの接平面への正射影の面積は
です。ということは、微小面積部分の立体角
は、
原点Oを取り囲む凸な閉曲面U全体で立体角を考えると、
なので、微小面積部分の立体角
は、
とも表せて、
とも書けます。なお、閉曲面Uが原点Oを取り囲んでいない場合には、
となります。
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