立体角


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(この項目は面積分、座標系を参照してください)
点Oを中心とする半径rの球面の一部Pの面積をで割ったもの、つまり、P上の各点と、Oを中心とする半径1の球面との交点が作る図形の面積を、Pの立体角と言います。
半径rの球面の面積はなので、球面全てで立体角はになります。

球面以外の凸な閉曲面についても、閉曲面で囲まれた部分に1点Oをとり、閉曲面上の一部分Pの各点とOを結び、Oを中心とする半径1の球面との交点が作る図形の面積をPの立体角とします。

原点Oを取り囲む凸な閉曲面Uを考えます。閉曲面U上の面積素片をとします。つまり、微小面積dSを取り、大きさがdSで、この微小面積部分に垂直で原点から遠ざかる方向を向くベクトルを考えます。
原点Oから、この微小面積部分に向かうベクトルととのなす角をθ とすると、微小面積部分の位置で半径の球面Kに接する平面と、この微小面積部分とのなす角もθ です。
つまり、微小面積部分の球面Kの接平面への正射影の面積はです。ということは、微小面積部分の立体角は、
原点Oを取り囲む凸な閉曲面U全体で立体角を考えると、
なので、微小面積部分の立体角は、
とも表せて、
とも書けます。なお、閉曲面Uが原点Oを取り囲んでいない場合には、
となります。


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