東工大物理'03年前期[2]
図のように、
方向を向いている磁界の磁束密度の大きさBが、xy平面で
では
(定数)、それ以外では
となっている空間がある。この空間に底辺の長さが
，高さがaであるような直角二等辺三角形DEF(頂点Dが直角)の1回巻きコイルLを、そのコイル面がxy平面と一致するように置く。そして図のように線分EFの中点から頂点Dに向かう方向がx軸と一致するようにして、
方向に一定の速さvで移動させる。なお、コイルの抵抗をRとし、導線の太さは無視する。設問(a)～(d)では、コイルの自己インダクタンスは無視するものとする。また、時刻
では頂点Dが
にある。
(a) 下記の枠内に入る式を答えよ。
コイルLを貫く磁束Φは、
方向を正として
では
となり、
では
となる。
では、時刻tから微小時間
だけ経過して
になったときの磁束
の変化量
となる。このとき
の項に比較して
の項が小さいとして無視すれば、コイルに誘起される誘導起電力
は、D→E→F→Dに沿って発生する起電力を正として
と表すことができる。同様にして、
での誘導起電力は
となる。 (b) 
でコイルLに流れる電流Iの変化を解答欄のグラフに示せ。この問での電流Iの大きさの最大値
を求めよ。ただし、D→E→F→Dに沿って流れる電流の向きを正とせよ。 (c) 
でコイルLがジュール熱として消費している電力Pを、時刻tの関数として表せ。 (d) コイルLを一定の速さvで移動させるために外から加えている力Fを、
で時刻tの関数として求めよ。ただし、
方向に加えている力を正とする。また
でコイルLに加えている力Fを、
方向を正として解答欄のグラフにおおよその形を示せ。 (e) つぎに、コイルLの自己インダクタンスが無視できない場合を考える。
のときの電流の大きさは、同じ時刻tで比較した場合、上記(b)で調べた電流の大きさよりも大きくなるか、小さくなるか、あるいは変わらないかを答えよ。またそのように考えた理由を50字以内で記せ。
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解答 磁気に関する基本的な出題です。フレミング左手の法則、電磁誘導の法則、レンツの法則を参照してください。
下記では、(a)③で近似前の式も問われているので、④で
を無視するように解答しましたが、これは、実質的に
において、
という操作を行うのと同じ操作であって、微分する(
)のと同じです。⑤では、微分して解答しました。
(a)① コイル中で磁束が通過する部分の面積をSとします。
におけるコイルの状況(t秒後)を右上図に示します。 このとき、
......[答] ② 
におけるコイルの状況(t秒後)を右下図に示します。 このときコイル中で磁束が通過する部分の面積は、
......[答]③ 
において、 
......[答]
......[答] (レンツの法則により、起電力はコイルを貫く磁界を弱める向きで負です)⑤ 
において、
レンツの法則より、起電力は正だから、
......[答]
において、
電流の変化のグラフは右図。
グラフより、電流の大きさの最大値：
(
のとき) ......[答]
(c) 
において、
......[答]
(d) 
において、磁界がDEとFDに及ぼす力は、フレミング左手の法則によりx軸方向から反時計回りに、それぞれ、
，
の方向を向きます。その合力はx軸負方向を向き、その大きさfはDEに働く力の
倍です。また、磁界中に存在するDE，FDの部分の長さは、各々、
です。コイルに働く力の大きさfは、 コイルには、コイルを等速度運動させるために、これとつり合う外力が加える必要があります(力のつり合いを参照)。
コイルに加える外力はx軸正方向を向き、 
......[答]
において、DEとFD(磁界中に存在する部分の長さは、各々、
)に働く力はフレミング左手の法則によりx軸に対して
反時計回りに
，
の方向で、その合力はx軸正方向を向き、大きさ
はDEに働く力の
倍で、EFに働く力はx軸負方向を向き、大きさは、
外力は、
力Fのグラフは右図。
(e) 電流の大きさは小さくなる。 ......[答]
(理由) レンツの法則により、コイルには電流の増大を妨げる向きの起電力が加わるから。 ......[答]
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